重積分の変数変換とヤコビアン

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D{e}^{x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I$ が収束することは認めてよい。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I^2$ を $xy$ 平面全体での重積分に直し、極座標に変換して計算すること。

平面上の領域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x\}$ に対して、重積分
$$I={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$
の値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,0\le y\le x\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x+y)dxdy$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の閉曲線
$$C=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2=1,z=2-x\}$$
を考え、$C$ には $xy$ 平面への射影が反時計回りになる向きを入れる。$1$ 次微分形式
$$\omega =-y^{3}dx+(x^3+z)dy$$
に対し、線積分 ${\int }_C\omega$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率を $K$、$g$ に関する面積要素を $dA$ とするとき、積分
$${\int }_{{\mathbb{R}}^2}KdA$$
は収束する。この値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid (x^2+y^2{)}^2\le 2(x^2-y^2),x\ge 0\}$$ （レムニスケートの右半分で囲まれた部分）に対して、重積分 $$I={\iint }_{D}xdxdy$$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+yz,\mathbf{G}(x,y,z)=\left(e^{yz},\sin (x^{2}z),\log (1+x^2+y^2)\right)$$
で定める。さらにベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=f\nabla f+\nabla \times \mathbf{G}$$
で定める。球面 $S:x^2+y^2+z^2=4$ の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とするとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^3+y^{2}z,y^3+\sin (xz),z^3+e^{xy}\right)$$
と、楕円体面
$$S=\left\{(x,y,z)|x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\right\}$$
を考える。$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$、面積要素を $dS$ とするとき、面積分
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ には $dx\wedge dy\wedge dz$ が正となる向きを入れる。$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおき、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =\frac{xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy}{r^3}+x^{2}zdx\wedge dy$$
を考える。楕円体面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}=1\right\}$$
には、$S$ が囲む立体 $E=\left\{\frac{x^2}{4}+y^2+\frac{z^2}{9}\le 1\right\}$ の境界としての向き（外向き法線による向き）を入れる。積分 ${\int }_S\omega$ の値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x^2-2xy+2y^2\le 4,y\ge 0\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_{D}xydxdy$$
の値を求めよ。

座標空間において、回転放物面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x+4y$ で囲まれた立体
$$V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 2x+4y\}$$
の体積を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、${\mathbb{R}}^3$ 上の $2$ 次微分形式
$$\omega =xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+z^{2}dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=1-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、写像 $(x,y)\mapsto (x,y,1-x^2-y^2)$（$x^2+y^2\le 1$）が向きを保つような向き（すなわち単位法線が上向き、$z$ 成分が正となる向き）を入れる。積分
$${\int }_S\omega$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の座標を $(x,y,z)$ とし、$2$ 次微分形式
$$\omega =x^{3}dy\wedge dz+y^{3}dz\wedge dx+(z+x^2)dx\wedge dy$$
を考える。曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=4-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
には、単位法線ベクトルの $z$ 成分が正となる向きを入れる（すなわち $(x,y)$ による表示で $dx\wedge dy$ が正となる向き）。積分 ${\int }_S\omega$ を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(z-2y,x+3z,x{y}^2\right)$$
と、円柱面 $x^2+y^2=4$ と平面 $z=1+y$ の交わりとしてできる閉曲線 $C$ を考える。$C$ の向きは、$z$ 軸の正の側から見て反時計回りとする。ストークスの定理を用いて、線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の円錐面の一部
$$S=\left\{(x,y,z)|z=\sqrt{x^2+y^2},0\le z\le 2\right\}$$
を考える（$S$ は側面だけで、上の円板 $z=2,x^2+y^2\le 4$ は含まない）。$S$ の向きを、頂点 $(0,0,0)$ を除く各点で単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の $z$ 成分が正となるように定める（頂点では法線が定まらないが、1 点なので面積分の値には影響しない）。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^3+y{e}^z,y^3+\sin (xz),z+x^2\right)$$
と、回転放物面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid z=1-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
を考える。$S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を、$z$ 成分が正になる向き（上向き）にとるとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$f,g$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数とし、平面の開集合
$$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0,x+y<1\}$$
を考える。このとき
$${\iint }_{D}f(x+y)g\left(\frac{x}{x+y}\right)dxdy=\left({\int }_0^{1}tf(t)dt\right)\left({\int }_0^{1}g(s)ds\right)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$E,F$ を平面の有界な開集合、$\Phi :E\to F$ を $C^1$ 級の全単射で、逆写像も $C^1$ 級であり、ヤコビアン $J_{\Phi }$ が $E$ 上で $0$ にならないものとする。$F$ 上の有界な連続関数 $h$ に対して ${\iint }_{F}h(x,y)dxdy={\iint }_{E}h(\Phi (u,v))|J_{\Phi }(u,v)|dudv$ が成り立つ（両辺の積分は存在する）。
- （累次積分）$(0,1)\times (0,1)$ 上の有界な連続関数 $k(u)l(v)$（$k,l$ は $[0,1]$ 上連続）について ${\iint }_{(0,1{)}^2}k(u)l(v)dudv={\int }_0^{1}k(u)du{\int }_0^{1}l(v)dv$ が成り立つ。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid |x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}\le 1\}$$ （アステロイドで囲まれた領域）に対して、重積分 $$I={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$$ の値を求めよ。

座標空間の立体
$$V=\{(x,y,z)\mid (x^2+y^2+z^2{)}^2\le 2xyz\}$$
の体積を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(-y+e^x,x+x{z}^2,y+z^3\right)$$
と、円柱面 $x^2+y^2=4$ と曲面 $z=xy$ の交わりとしてできる閉曲線 $C$ を考える。$C$ の向きは、$z$ 軸の正の側から見て（$xy$ 平面への正射影が）反時計回りとなる向きとする。ストークスの定理を用いて、線積分
$$I={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xy$ 平面の原点を除いた領域 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上で、関数 $P,Q$ を
$$P(x,y)=-\frac{y}{x^2+4y^2}-x^{2}y+e^{x^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+4y^2}+x{y}^2+\sin (y^2)$$
で定める。円 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$ を反時計回りに 1 周する向きに向き付けるとき、線積分
$$I={\oint }_C\left(Pdx+Qdy\right)$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（エネパー曲面）を
$$X(u,v)=\left(u-\frac{u^3}{3}+u{v}^2,v-\frac{v^3}{3}+u^{2}v,u^2-v^2\right)((u,v)\in {\mathbb{R}}^2)$$
でパラメータ表示し、${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。各点でのガウス曲率を $K$、平均曲率を $H$（主曲率 ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ に対して $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$）とする。第一基本形式を $Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$ とし、面積要素を $dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$ とする。パラメータ領域
$$D=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2\mid u^2+v^2\le 1\}$$
上の積分
$${\iint }_D\left(H^2-K\right)dA$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,xy)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2\le 1\}$$
を考える。$S$ の各点における主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とし、ガウス曲率を $K={\kappa }_1{\kappa }_2$、平均曲率を $H=\frac{{\kappa }_1+{\kappa }_2}{2}$ とする。$dA$ を $S$ の面積要素とするとき、
$${\iint }_S(H^2-K)dA$$
の値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x>0,1\le x^2-y^2\le 4,2\le xy\le 5\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x^4-y^4)dxdy$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz+e^{y^2},yz+\sin x,z^2+x^2+y^2\right)$$
と、球面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=9,z\ge 1\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を原点から遠ざかる向き（球の外向き）にとるとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$\phi ,\psi$ を ${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな $C^{\infty }$ 級関数とし、$u\in C^2({\mathbb{R}}^3\times [0,\infty ))$ を波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
の解とする。ここで $\Delta$ は $x$ についてのラプラシアンである。このとき、各 $x\in {\mathbb{R}}^3$ について広義積分 ${\int }_0^{\infty }u(x,t)dt$ は絶対収束し、
$${\int }_0^{\infty }u(x,t)dt=\frac{1}{4\pi }{\int }_{{\mathbb{R}}^3}\frac{\psi (y)}{|x-y|}dy$$
が成り立つ（特に左辺は $\phi$ によらない）ことを示せ。

ただし、この初期値問題の $C^2$ 級の解はただ 1 つであり、$t>0$ でキルヒホッフの公式
$$u(x,t)=\frac{\partial }{\partial t}(t{M}_{\phi }(x,t))+t{M}_{\psi }(x,t),M_f(x,t)=\frac{1}{4\pi }{\int }_{|\omega |=1}f(x+t\omega )d{S}_{\omega }$$
で与えられることは用いてよい（$M_f(x,t)$ は球面 $|y-x|=t$ 上での $f$ の平均値で、$d{S}_{\omega }$ は単位球面上の面積要素）。