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微分幾何の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学微分幾何

$R^{3}$ の座標を $(x, y, z)$ とし、 $2$ 次微分形式
$ω = x^{3} d y \land d z + y^{3} d z \land d x + (z + x^{2}) d x \land d y$
を考える。曲面
$S = {(x, y, z) \in R^{3} ∣ z = 4 - x^{2} - y^{2}, z \geq 0}$
には、単位法線ベクトルの $z$ 成分が正となる向きを入れる（すなわち $(x, y)$ による表示で $d x \land d y$ が正となる向き）。積分 $\int_{S} ω$ を求めよ。

この問題で使うもの

微分形式の積分とストークスの定理（説明と入口の問題）
微分形式の外積と外微分（説明と入口の問題）
重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（82 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S$ に底の円板 $D$ を付け加えて閉曲面にし、ストークスの定理（発散定理）を使う。 $D$ 上の向きに注意する。

ヒント 2

$d ω = (3 x^{2} + 3 y^{2} + 1) d x \land d y \land d z$ 。 $D$ 上では $d z = 0$ より $ω ∣_{D} = x^{2} d x \land d y$ である。

ヒント 3

$E$ 上の積分は円柱座標で $2 π \int_{0}^{2} (3 r^{2} + 1) (4 - r^{2}) r d r = 40 π$ 。あとは下向きの $D$ 上の積分を引く。

答えと解説

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44 π

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解説を読む

方針. $S$ の底に円板 $D = {(x, y, 0) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4}$ を付け加えると、領域
$E = {(x, y, z) ∣ 0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2}}$
の境界になる。 $R^{3}$ に $d x \land d y \land d z$ が正の向きを入れ、 $\partial E$ に外向き法線による境界の向きを入れると、 $S$ 上では外向き＝上向きなので問題の向きと一致し、 $D$ 上では外向き＝下向きになる。ストークスの定理より
$\int_{S} ω + \int_{D^{-}} ω = \int_{E} d ω$
（ $D^{-}$ は下向きの向きを入れた $D$ ）。

外微分.
$d ω = (\frac{\partial ( x ^{3} )}{\partial x} + \frac{\partial ( y ^{3} )}{\partial y} + \frac{\partial ( z + x ^{2} )}{\partial z}) d x \land d y \land d z = (3 x^{2} + 3 y^{2} + 1) d x \land d y \land d z .$

体積分. 円柱座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ で
$\int_{E} d ω = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (3 r^{2} + 1) (4 - r^{2}) r d r d θ = 2 π \int_{0}^{2} (- 3 r^{5} + 11 r^{3} + 4 r) d r .$
$\int_{0}^{2} (- 3 r^{5} + 11 r^{3} + 4 r) d r = - 3 \cdot \frac{64}{6} + 11 \cdot \frac{16}{4} + 4 \cdot \frac{4}{2} = - 32 + 44 + 8 = 20.$
よって $\int_{E} d ω = 40 π$ 。

底面の積分. $D$ 上では $z = 0$ , $d z = 0$ なので $ω ∣_{D} = x^{2} d x \land d y$ 。下向きの向きでは $d x \land d y$ が負なので
$\int_{D^{-}} ω = - \iint_{x^{2} + y^{2} \leq 4} x^{2} d x d y = - \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} r^{3} cos^{2} θ d r d θ = - π \cdot 4 = - 4 π .$

結論.
$\int_{S} ω = 40 π - (- 4 π) = 44 π .$

別解

$ω$ はベクトル場 $F = (x^{3}, y^{3}, z + x^{2})$ の流束形式で、 $\int_{S} ω$ は $S$ を上向き法線で通る $F$ の流束。 $div F = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 1$ 。\n\n $S$ と底面 $B = {z = 0, x^{2} + y^{2} \leq 4}$ は領域 $V = {0 \leq z \leq 4 - x^{2} - y^{2}}$ の境界をなす。ガウスの発散定理より（外向き法線: $S$ は上向き、 $B$ は下向き $- k$ ）\n $\int_{S} ω + \int_{B, 下向き} ω = ∭_{V} div F d V .$ \n\n右辺: 円柱座標で\n $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (3 r^{2} + 1) (4 - r^{2}) r d r d θ = 2 π \int_{0}^{2} (4 r + 11 r^{3} - 3 r^{5}) d r = 2 π (8 + 44 - 32) = 40 π .$ \n\n底面: $z = 0$ , 下向き法線なので $F \cdot n = - (z + x^{2}) = - x^{2}$ 。 $\int_{B} (- x^{2}) d A = - \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} r^{2} cos^{2} θ r d r d θ = - π \cdot \frac{2 ^{4}}{4} = - 4 π$ 。\n\nよって $\int_{S} ω = 40 π - (- 4 π) = 44 π$ 。\n\n検算（直接計算）: $S$ を $(x, y)$ で表示すると $\int_{S} ω = \iint_{r \leq 2} [x^{3} (2 x) + y^{3} (2 y) + (4 - r^{2} + x^{2})] d x d y$ 。 $\iint 2 (x^{4} + y^{4}) = 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{2 π} cos^{4} θ d θ \int_{0}^{2} r^{5} d r$ より $\int_{0}^{2 π} (cos^{4} + sin^{4}) = \frac{3 π}{2}$ なので $2 \cdot \frac{3 π}{2} \cdot \frac{64}{6} = 32 π$ 。 $\iint (4 - r^{2}) = 2 π (8 - 4) = 8 π$ 。 $\iint x^{2} = 4 π$ 。合計 $32 π + 8 π + 4 π = 44 π$ 。一致。

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