微分幾何の問題

$\omega$ は閉形式。 $\rho =(x^2+y^2+z^2{)}^{1/2}$ とすると
$$d\omega =\left(\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{{\rho }^3}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{y}{{\rho }^3}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{z}{{\rho }^3}\right)dx\wedge dy\wedge dz,$$
$\frac{\partial }{\partial x}\frac{x}{{\rho }^3}=\frac{1}{{\rho }^3}-\frac{3x^2}{{\rho }^5}$ などより、和は $\frac{3}{{\rho }^3}-\frac{3{\rho }^2}{{\rho }^5}=0$。よって ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上で $d\omega =0$。

球面の一部に取り替える。 $S$ の境界は円 $x^2+y^2=1,z=1$ で、これは原点中心・半径 $\sqrt{2}$ の球面上にある。球冠
$$C=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=2,z\ge 1\}$$
を考える。$x^2+y^2=r^2\le 1$ に対し $S$ の高さ $w=2-r^2\in [1,2]$ と $C$ の高さ $\sqrt{2-r^2}=\sqrt{w}$ を比べると $w\ge \sqrt{w}$ なので、$S$ は $C$ の上側にあり、$S$ と $C$ で囲まれる有界領域 $W$ が定まる。$W$ の閉包は原点を含まない（$z\ge 1$）。

$\partial W=S\cup C$ に外向きの向きを入れると、$S$ では上向き（与えられた向き）、$C$ では下向き（原点側）となる。ストークスの定理と $d\omega =0$ より
$$0={\int }_{W}d\omega ={\int }_S\omega -{\int }_C\omega ,$$
ただし右辺の ${\int }_C$ は $C$ に球面の外向き法線（原点から遠ざかる向き）を入れたものとする。よって ${\int }_S\omega ={\int }_C\omega$。

球面上での計算。 半径 $R$ の球面上に外向きの向きを入れると、$xdy\wedge dz+ydz\wedge dx+zdx\wedge dy$ の引き戻しは $RdA$（$dA$ は面積要素）に等しい。実際、外向き単位法線は $\mathbf{n}=(x,y,z)/R$ で、この $2$ 次形式はベクトル場 $(x,y,z)$ の流束形式なので $(x,y,z)\cdot \mathbf{n}dA=RdA$。したがって球面上で
$$\omega =\frac{RdA}{R^3}=\frac{dA}{R^2}.$$
$R=\sqrt{2}$ の球冠 $C$ の高さは $h=\sqrt{2}-1$ なので、アルキメデスの公式より面積は $2\pi Rh=2\pi \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=2\pi (2-\sqrt{2})$。よって
$${\int }_S\omega ={\int }_C\omega =\frac{2\pi (2-\sqrt{2})}{2}=(2-\sqrt{2})\pi .$$

（これは原点から $S$ を見込む立体角であり、境界の円を見込む角 $\pi /4$ から $2\pi (1-\cos \frac{\pi }{4})$ としても得られる。）

$\omega$ は ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上で閉形式で、原点中心の球面上では立体角の面積要素。したがって $S$ 上の積分は、原点から見た $S$ の立体角に等しい（各半直線が $S$ とちょうど 1 点で交わり、$S$ の向きが原点から遠ざかる向きと整合する場合）。\n\n$S$ は放物面 $z=2-r^2$ の $r\le 1$ の部分で、境界は円 $r=1,z=1$。半直線の天頂角を $\varphi$ とすると、$r=z\tan \varphi$ を $z=2-r^2$ に代入して $z=2-z^2{\tan }^2\varphi$ は正の解がちょうど 1 つ。$\varphi$ の範囲は境界で $\tan \varphi =r/z=1$、つまり $0\le \varphi \le \pi /4$。$S$ の上向き法線は動径方向外向きと内積が正（$S$ 上で $\nu \propto (2x,2y,1)$、位置ベクトル $(x,y,z)$ との内積 $2r^2+z>0$）。\n\n立体角 $=2\pi (1-\cos \frac{\pi }{4})=2\pi -\sqrt{2}\pi$。検算（閉形式を使い、$S$ を原点中心の球面 $S^2$ 上の球冠 $\varphi \le \pi /4$ に変形）: 球冠の面積 $2\pi (1-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\pi -\sqrt{2}\pi$ ✓。