グリーンの定理

$\oint_{C} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$ を使って、閉曲線に沿った線積分を重積分に直して求め、囲まれた面積を線積分で求められる

前提

ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

説明

グリーンの定理は、平面の閉曲線 $C$ に沿った線積分 $\oint_{C} (P d x + Q d y)$ を、 $C$ が囲む領域 $D$ 上の重積分に書き換える定理です。曲線をいくつもの区間に分けて媒介変数表示するのが面倒なときでも、重積分 1 回で線積分の値が求まります。逆に、重積分である面積を、境界に沿った線積分で求めることもできます。

なぜそうしてよいのか

まず定理の主張を正確に書きます。 $C$ は自分自身と交わらない区分的に滑らかな閉曲線で、囲まれた領域 $D$ を左手に見る向き（反時計回り）に一周するとします。 $P (x, y), Q (x, y)$ とその 1 階偏導関数が、 $D$ とその境界を合わせた範囲で連続であるとします。このとき $\oint_{C} (P d x + Q d y) = \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$ が成り立ちます。

$P$ の部分が成り立つ理由を見てみます。 $D = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}$ の形の領域で考えます。累次積分に直し、 $y$ について積分すると $\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} d x d y = \int_{a}^{b} [P (x, g_{2} (x)) - P (x, g_{1} (x))] d x$ です。一方、境界を反時計回りに回る線積分 $\oint_{C} P d x$ を計算します。下の辺 $(t, g_{1} (t))$ は $t$ が $a \to b$ と進むので、寄与は $\int_{a}^{b} P (t, g_{1} (t)) d t$ です。上の辺は $b \to a$ と逆向きに進むので、符号が変わって $- \int_{a}^{b} P (t, g_{2} (t)) d t$ になります。左右に縦の線分があっても、そこでは $x$ が一定なので $d x = 0$ となり、寄与はありません。したがって $\oint_{C} P d x = - \iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} d x d y$ です。同じように $D$ を横に切って $x$ から先に積分すると、 $\oint_{C} Q d y = \iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x} d x d y$ が得られます。2 つを足せば定理になります。もっと複雑な領域でも、このような小さな領域に分割すれば同じ結論になります。分割線の上はとなり合う 2 つの領域から逆向きに 1 回ずつ通るので、線積分が打ち消し合うからです。

面積を求めるには、 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ となる $P, Q$ を選びます。すると右辺は $\iint_{D} 1 d x d y = (D の面積)$ になります。たとえば $(P, Q) = (0, x)$ 、 $(- y, 0)$ 、 $(- \frac{y}{2}, \frac{x}{2})$ がそうで、 $S = \oint_{C} x d y = - \oint_{C} y d x = \frac{1}{2} \oint_{C} (x d y - y d x)$ となります。

手順

条件を確認する。 $C$ が自分自身と交わらない閉曲線であることを確かめる。向きが反時計回り（ $D$ が左側）かどうかを見る。 $P, Q$ とその偏導関数が $D$ の内部と境界で連続であること（分母が 0 になる点などがないこと）を確かめる
被積分関数 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ を計算する（ $Q$ を $x$ で偏微分したものから、 $P$ を $y$ で偏微分したものを引く）
領域 $D$ を図示し、 $\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$ を累次積分に直して計算する
$C$ が時計回りなら、得られた値の符号を反転する
面積を求めたいときは $S = \oint_{C} x d y = - \oint_{C} y d x = \frac{1}{2} \oint_{C} (x d y - y d x)$ のどれかを使う。 $C$ を反時計回りに媒介変数表示して線積分を計算する

例題

$C$ を、3 点 $(0, 0), (1, 0), (0, 1)$ を頂点とする三角形の周を反時計回りに一周する曲線とする。線積分 $\oint_{C} ((sin x - y^{2}) d x + (2 x y + e^{y}) d y)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $C$ は三角形の周なので、自分自身と交わらない閉曲線です。向きは反時計回りです。 $P = sin x - y^{2}$ 、 $Q = 2 x y + e^{y}$ とその偏導関数は、平面全体で連続です。したがってグリーンの定理が使えます。

手順 2： $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2 y$ 、 $\frac{\partial P}{\partial y} = - 2 y$ です。よって $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 y - (- 2 y) = 4 y$ となります。 $sin x$ と $e^{y}$ は消えるので、線積分を直接計算するより楽になります。

手順 3： $D = {(x, y) ∣ 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 1 - y}$ です。 $\iint_{D} 4 y d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{1 - y} 4 y d x) d y = \int_{0}^{1} 4 y (1 - y) d y = 4 (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

手順 4：向きは反時計回りなので、符号はそのままです。よって求める線積分は $\frac{2}{3}$ です。

答え: $\frac{2}{3}$

よくある誤り

被積分関数の引き算の順序を逆にして、 $\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ です。 $d y$ の係数 $Q$ を $x$ で微分したものが先にきます。例題で逆にすると $- \frac{2}{3}$ になってしまいます。
曲線の向きを確かめずに定理を使ってしまう誤り。定理の等式は反時計回りのときに成り立ちます。時計回りなら $\oint_{C} (P d x + Q d y) = - \iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y$ です。
$D$ の内部に $P, Q$ が定義されない点があるのに定理を使ってしまう誤り。たとえば $P = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}, Q = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ では、原点以外で $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$ です。そこで「単位円上の線積分は $0$ 」としてしまいがちです。しかし $(cos t, sin t)$ で直接計算すると $\int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π$ になります。原点で条件が崩れているので、この場合は定理を使えません。
面積の公式の係数 $\frac{1}{2}$ を落として、 $S = \oint_{C} (x d y - y d x)$ としてしまう誤り。正しくは $S = \frac{1}{2} \oint_{C} (x d y - y d x)$ です。 $(P, Q) = (- y, x)$ のままだと $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2$ となり、面積の 2 倍が出てしまいます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）