定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{1}x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_1^e\frac{(\log x{)}^2}{x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_1^e\frac{(\log x{)}^3}{x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$

定積分 $${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx$$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分
$${\int }_3^4\frac{1}{(x-1)(x-2)}dx$$
を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

定積分 $${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x\cos xdx$$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^3\cos x+x\sin x\right)dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(x^3+x\sin x\right)dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\pi }^{\pi }(x^2+x)\sin xdx$$

座標平面上で、曲線 $y=e^x$、$x$ 軸、$y$ 軸および直線 $x=1$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}(0\leqq x\leqq \log 3)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

広義積分
$${\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$$
の値を求めよ。

累次積分
$$I={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt[3]{y}}^1\sin \left(\pi x^4\right)dx\right)dy$$
の値を、積分の順序を交換して求めよ。

次の累次積分 $I$ の値を求めよ。
$$I={\int }_0^4\left({\int }_{\sqrt{y}}^2{e}^{x^3}dx\right)dy$$
ただし、$e^{x^3}$ の原始関数は初等関数で表せないので、そのままでは内側の積分を計算できない。積分の順序を交換して計算せよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{e-1}\left({\int }_{\log (1+x)}^1\frac{e^{y^2}}{1+x}dy\right)dx$$

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ で $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した周期関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
とし、係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ において $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
と表す。ここで、フーリエ係数は
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x<\pi$ で $f(x)=x$ となるように定める。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
と表すとき、フーリエ係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

関数 $f(x)=x(0\le x\le \pi )$ を奇関数として区間 $-\pi \le x\le \pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張する。こうして得られる関数の正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
の係数 $b_n$ を、正の整数 $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^1{x}^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$G_n=\{(1+X_1)(1+X_2)\cdots (1+X_n){\}}^{1/n}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき $G_n$ は確率 $1$ である定数 $L$ に収束する。$L$ の値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$$

媒介変数 $t$ を用いて
$$x=3t^2,y=2t^3(0\leqq t\leqq 2\sqrt{2})$$
と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。

座標平面上で、曲線 $y=\log x$、$x$ 軸および直線 $x=e$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\pi }{e}^x\sin xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2\sin xdx$$

曲線
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\le x\le e)$$
の長さ $L$ を求めよ。

平面上の領域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x\}$ に対して、重積分
$$I={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f$ を $f(x)=x(\pi -|x|)$ で定める。$f$ のフーリエ級数とパーセバルの等式を用いて、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\sin x& (0\le x\le \pi )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=\frac{1}{1+x^2},u_t(x,0)=x{e}^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u$ について、$u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ に対して $$\frac{e^{-x}\sin x}{x}={\int }_1^{\infty }{e}^{-tx}\sin xdt$$ が成り立つことを用いて、ルベーグ積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}\sin x}{x}dx$$ の値を求めよ（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(z^2-2y,3x+yz,e^{xy}\right)$$
と、回転放物面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid z=4-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
を考える。$S$ の向きは、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の $z$ 成分が正となる向き（上向き）とし、$dS$ を面積要素とする。面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x\leqq 1)\\ 0& (x<0\text{ または }x>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ここで $i$ は虚数単位である。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t$$
を考える。このとき、期待値
$$E\left[(X+W_1{)}^2\right]$$
を求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
は用いてよい。

関数 $f(x)=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
が成り立つことを証明せよ。

$[0,1]\times [0,1]$ 上の関数 $G$ を
$$G(x,y)=\{\begin{array}{ll}x(1-y)& (0\le x\le y\le 1)\\ y(1-x)& (0\le y\le x\le 1)\end{array}$$
で定める（これは境界値問題 $-u^{\prime \prime }=f$, $u(0)=u(1)=0$ のグリーン関数である）。$u$ を $[0,1]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数で $u(0)=u(1)=0$ をみたすものとする。このとき、すべての $x\in [0,1]$ について
$$u(x)=-{\int }_0^{1}G(x,y)u^{\prime \prime }(y)dy$$
が成り立つことを用いて、
$$\underset{0\le x\le 1}{\max }|u(x)|\le \frac{1}{8}\underset{0\le x\le 1}{\max }|u^{\prime \prime }(x)|$$
が成り立つことを示せ。ただし、上の積分表示も証明の中で示すこと。

正の整数 $n$ に対して
$$a_n=\sum _{k=1}^n\sqrt{k}-\frac{2}{3}{n}^{3/2}-\frac{1}{2}{n}^{1/2}$$
とおく。数列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ が有限の極限をもつ（ある実数に収束する）ことを証明せよ。

ただし、オイラー・マクローリンの和公式を用いる場合は、使う形を証明の中で導くこと。

座標空間において、曲面
$$z=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}y$$
のうち、三角形の領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 5\}$ の上にある部分の曲面積 $S$ を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid (x^2+y^2{)}^2\le 2(x^2-y^2),x\ge 0\}$$ （レムニスケートの右半分で囲まれた部分）に対して、重積分 $$I={\iint }_{D}xdxdy$$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (|x|\leqq \pi )\\ 0& (|x|>\pi )\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$f(x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\pi \omega )\sin \frac{\pi \omega }{3}}{1-{\omega }^2}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =1$ で連続になるように値を定めるものとする。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^2(2n)}{n^4}$$
の値を求めよ。ただし $\sin$ の引数は弧度法で表したものとする。

（方針の指定）$[-\pi ,\pi ]$ 上で区間 $[-1,1]$ の指示関数と区間 $[-2,2]$ の指示関数をそれぞれ考え、$2\pi$ 周期的に拡張する。それらの周期的畳み込みのフーリエ係数を求め、パーセバルの等式を用いて求めること。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{\arctan x}{x\sqrt{1-x^2}}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とし、$\log$ は自然対数とする。

曲線 $y=(\log x{)}^2(x>0)$ と直線 $y=1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$0\leqq x\leqq \pi$ において、曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=\frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

座標平面上において、曲線 $y=e^x$、直線 $y=e$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{3}xdx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\sqrt{3}}{x}^3{e}^{x^2}dx$$

曲線 $y=\sqrt{x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

2 曲線 $y=x{e}^{-x}$ と $y=x^2{e}^{-x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x^2-2xy+2y^2\le 4,y\ge 0\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_{D}xydxdy$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面（懸垂面の一部）
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2={\cosh }^{2}z,|z|\le \log 2\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とするとき、全ガウス曲率
$${\iint }_{S}KdA$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ を考える。関数 $u(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx,u(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める（$x$, $\omega$ は実数）。$f(x)$ は連続かつ絶対可積分で、$\hat{f}(\omega )$ も絶対可積分であり、上の反転公式はすべての実数 $x$ で成り立つとしてよい。$\hat{f}(\omega )$ を求め、反転公式を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\omega \sin 2\omega }{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

$E(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ $(x\in \mathbb{R})$ とおき、$f\in L^1(\mathbb{R})$ に対して畳み込み
$$u(x)=(E\ast f)(x)={\int }_{\mathbb{R}}E(x-y)f(y)dy$$
を考える。$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ を試験関数の空間とし、局所可積分関数 $v$ は超関数 $⟨v,\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}v(x)\phi (x)dx$ と同一視する。超関数 $T$ の微分は $⟨T^{\prime },\phi ⟩=-⟨T,{\phi }^{\prime }⟩$ で定める（したがって $⟨T^{\prime \prime },\phi ⟩=⟨T,{\phi }^{\prime \prime }⟩$）。

このとき、$u(x)$ はほとんどすべての $x$ で絶対収束する積分として定まって $u\in L^1(\mathbb{R})$ となり、さらに超関数の意味で
$$-u^{\prime \prime }+u=f({\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})\text{ において})$$
が成り立つことを証明せよ。ルベーグ積分の基本定理（フビニ・トネリの定理など）は用いてよい。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_{-1}^1\frac{\log (1+x^2)}{1+e^x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx$$

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid |x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}\le 1\}$$ （アステロイドで囲まれた領域）に対して、重積分 $$I={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$$ の値を求めよ。

座標空間の立体
$$V=\{(x,y,z)\mid (x^2+y^2+z^2{)}^2\le 2xyz\}$$
の体積を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log \left(x^2+9\right)}{x^2+4}dx$$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間の原点を除いた領域で定義されたベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}{|}^3}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$$
と、平面 $z=2$ 上の長方形
$$S=\{(x,y,2)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $z$ 軸の正の向き $\mathbf{n}=(0,0,1)$ にとるとき、$\mathbf{F}$ の $S$ を通る流束
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2,\mathbf{G}(x,y,z)=(y,z,x)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=\nabla f\times \mathbf{G}+f(\nabla \times \mathbf{G})$$
とする。球面 $x^2+y^2+z^2=4$ のうち $z\ge 1$ の部分を $S$ とし、$S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を外向き（原点から遠ざかる向き）にとる。面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。