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積分法の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学III 積分法

$t$ を正の実数とする。曲線 $C : y = lo g x (x > 0)$ 上の点 $(t, lo g t)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $C$ 、 $ℓ$ および 2 直線 $x = 1$ 、 $x = e^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (t)$ とする。 $t$ が正の実数全体を動くとき、 $S (t)$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

この問題で使うもの

指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
面積と回転体の体積（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず接線 $ℓ$ の方程式を $t$ で表し、区間 $1 \leq x \leq e^{2}$ で $ℓ$ と $C$ のどちらが上にあるかを調べましょう。曲線の凹凸がヒントになります。

ヒント 2

$C$ は上に凸なので、接線は常に曲線の上側にあります。 $S (t) = \int_{1}^{e^{2}} (\frac{x}{t} - 1 + lo g t - lo g x) d x$ を計算し、 $t$ で微分します。 $\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ を使いましょう。

ヒント 3

$S (t) = \frac{e ^{4} - 1}{2 t} + (e^{2} - 1) (lo g t - 1) - (e^{2} + 1)$ となります。 $S^{'} (t) = 0$ を解くと $t = \frac{e ^{2} + 1}{2}$ が得られるので、増減を確認してこの値を代入しましょう。

答えと解説

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(e^{2} - 1) lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - e^{2} - 1

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解説を読む

接線の方程式

$y = lo g x$ より $y^{'} = \frac{1}{x}$ である。よって点 $(t, lo g t)$ における接線 $ℓ$ は
$y = \frac{1}{t} (x - t) + lo g t = \frac{x}{t} - 1 + lo g t$
となる。

接線と曲線の上下関係

$y^{''} = - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ より、 $C$ は上に凸である。したがって、接線 $ℓ$ は $x > 0$ の範囲で常に $C$ の上側にある（等号は $x = t$ のときのみ）。

実際、 $f (x) = \frac{x}{t} - 1 + lo g t - lo g x$ とおくと $f^{'} (x) = \frac{1}{t} - \frac{1}{x}$ である。よって $f (x)$ は $x = t$ で最小値 $0$ をとり、 $f (x) \geq 0$ が成り立つ。

このことは $t$ が区間 $1 \leq x \leq e^{2}$ の外にある場合にも成り立つ。

面積 $S (t)$ の計算

$S (t) = \int_{1}^{e^{2}} (\frac{x}{t} - 1 + lo g t - lo g x) d x$

各項を順に計算する。
$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x}{t} d x = \frac{1}{t} [\frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{e^{2}} = \frac{e ^{4} - 1}{2 t}$
$\int_{1}^{e^{2}} (lo g t - 1) d x = (e^{2} - 1) (lo g t - 1)$
$\int_{1}^{e^{2}} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{e^{2}} = (2 e^{2} - e^{2}) - (0 - 1) = e^{2} + 1$

よって
$S (t) = \frac{e ^{4} - 1}{2 t} + (e^{2} - 1) (lo g t - 1) - (e^{2} + 1)$
である。

増減と最小値

$S^{'} (t) = - \frac{e ^{4} - 1}{2 t ^{2}} + \frac{e ^{2} - 1}{t} = \frac{e ^{2} - 1}{t ^{2}} (t - \frac{e ^{2} + 1}{2})$

$e^{2} - 1 > 0$ であるから、 $S^{'} (t)$ の符号は次のようになる。
- $0 < t < \frac{e ^{2} + 1}{2}$ で $S^{'} (t) < 0$
- $t > \frac{e ^{2} + 1}{2}$ で $S^{'} (t) > 0$

したがって、 $S (t)$ は $t = \frac{e ^{2} + 1}{2}$ で最小となる。

このとき
$\frac{e ^{4} - 1}{2 t} = \frac{( e ^{2} - 1 ) ( e ^{2} + 1 )}{e ^{2} + 1} = e^{2} - 1$
であるから、
$S (\frac{e ^{2} + 1}{2}) = (e^{2} - 1) + (e^{2} - 1) (lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - 1) - (e^{2} + 1) = (e^{2} - 1) lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - e^{2} - 1$
となる。

（数値は約 $0.77$ で、正である。）

答え

求める最小値は $(e^{2} - 1) lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - e^{2} - 1$ である。

別解

$C$ は上に凸なので、接線 $ℓ$ は常に $C$ の上側(以上)にある。

$ℓ : y = \frac{1}{t} (x - t) + lo g t = \frac{x}{t} - 1 + lo g t$

$S (t) = \int_{1}^{e^{2}} (\frac{x}{t} - 1 + lo g t - lo g x) d x$

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{x}{t} d x = \frac{e ^{4} - 1}{2 t}$ 、 $\int_{1}^{e^{2}} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{e^{2}} = e^{2} + 1$ なので

$S (t) = \frac{e ^{4} - 1}{2 t} + (e^{2} - 1) (lo g t - 1) - (e^{2} + 1)$

微分すると
$S^{'} (t) = - \frac{e ^{4} - 1}{2 t ^{2}} + \frac{e ^{2} - 1}{t} = \frac{e ^{2} - 1}{t ^{2}} (t - \frac{e ^{2} + 1}{2})$

よって $t = \frac{e ^{2} + 1}{2}$ で $S$ は減少から増加に転じ、ここで最小となる。

最小値は
$S = (e^{2} - 1) + (e^{2} - 1) (lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - 1) - (e^{2} + 1) = (e^{2} - 1) lo g \frac{e ^{2} + 1}{2} - e^{2} - 1$

検算: 数値では $6.389 \times 1.4338 - 8.389 \approx 0.771 > 0$ となり、面積として妥当。

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