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積分法の問題

難易度 3共通テストレベル数学III 積分法

2 曲線 $y = x e^{- x}$ と $y = x^{2} e^{- x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

この問題で使うもの

面積と回転体の体積（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず 2 曲線の交点の $x$ 座標を求め、その間でどちらの曲線が上にあるかを調べます。

ヒント 2

交点は $x = 0, 1$ で、 $0 < x < 1$ では $x e^{- x} ≧ x^{2} e^{- x}$ です。 $S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) e^{- x} d x$ を部分積分で計算します。

ヒント 3

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = 1 - \frac{2}{e}$ です。 $\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x} d x$ は部分積分で $[- x^{2} e^{- x}]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ と変形できます。

答えと解説

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\frac{3}{e} - 1

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解説を読む

2 曲線の交点の $x$ 座標は
$x e^{- x} = x^{2} e^{- x} ⟺ x (1 - x) e^{- x} = 0$
で、 $e^{- x} > 0$ より $x = 0, 1$ である。 $0 < x < 1$ では $x - x^{2} = x (1 - x) > 0$ なので $x e^{- x} > x^{2} e^{- x}$ である。よって
$S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) e^{- x} d x = \int_{0}^{1} x e^{- x} d x - \int_{0}^{1} x^{2} e^{- x} d x$
まず部分積分により
$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = [- x e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x = - \frac{1}{e} + [- e^{- x}]_{0}^{1} = - \frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e}$
次に
$\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x} d x = [- x^{2} e^{- x}]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} x e^{- x} d x = - \frac{1}{e} + 2 (1 - \frac{2}{e}) = 2 - \frac{5}{e}$
したがって
$S = (1 - \frac{2}{e}) - (2 - \frac{5}{e}) = \frac{3}{e} - 1$
( $e < 3$ より $S > 0$ であることも確認できる。)

別解

$x e^{- x} = x^{2} e^{- x}$ より $e^{- x} x (1 - x) = 0$ なので $x = 0, 1$ 。 $0 < x < 1$ では $x > x^{2}$ なので $x e^{- x} > x^{2} e^{- x}$ 。
$S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) e^{- x} d x .$
$F (x) = (x^{2} + x + 1) e^{- x}$ とおくと $F^{'} (x) = (2 x + 1) e^{- x} - (x^{2} + x + 1) e^{- x} = (x - x^{2}) e^{- x}$ となり原始関数である。
$S = F (1) - F (0) = 3 e^{- 1} - 1 = \frac{3}{e} - 1.$
検算: $\frac{3}{e} - 1 \approx 0.1036$ 。一方 $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$ に $e^{- x}$ （区間で約 $0.37 \sim 1$ 、重みの中心 $x = 0.5$ で約 $0.61$ ）を掛けたものは約 $0.10$ で整合する。

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