積分法の問題

交点の $x$ 座標を求める。$\frac{1}{x}=-x+\frac{5}{2}$ の両辺に $2x(>0)$ を掛けると
$$2=-2x^2+5x\text{すなわち}2x^2-5x+2=0$$
$$(2x-1)(x-2)=0$$
より $x=\frac{1}{2},2$ である。

$\frac{1}{2}<x<2$ では $(2x-1)(x-2)<0$ より $2x^2-5x+2<0$、すなわち $-x+\frac{5}{2}>\frac{1}{x}$ なので、直線が曲線の上側にある。よって
$$S={\int }_{\frac{1}{2}}^2\left(-x+\frac{5}{2}-\frac{1}{x}\right)dx={\left[-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}x-\log x\right]}_{\frac{1}{2}}^2$$
ここで
$$x=2\text{のとき}-2+5-\log 2=3-\log 2$$
$$x=\frac{1}{2}\text{のとき}-\frac{1}{8}+\frac{5}{4}-\log \frac{1}{2}=\frac{9}{8}+\log 2$$
したがって
$$S=(3-\log 2)-\left(\frac{9}{8}+\log 2\right)=\frac{15}{8}-2\log 2$$

$\frac{1}{x}=-x+\frac{5}{2}$ より $2=-2x^2+5x$、$2x^2-5x+2=0$、$(2x-1)(x-2)=0$ なので $x=\frac{1}{2},2$。$\frac{1}{2}\leqq x\leqq 2$ で直線が曲線の上側（$x=1$ で $\frac{3}{2}>1$）。$S={\int }_{1/2}^2\left(-x+\frac{5}{2}-\frac{1}{x}\right)dx={\left[-\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}x-\log x\right]}_{1/2}^2=(-2+5-\log 2)-\left(-\frac{1}{8}+\frac{5}{4}+\log 2\right)=3-\log 2-\frac{9}{8}-\log 2=\frac{15}{8}-2\log 2$。検算: 約 $1.875-1.386=0.489>0$。台形近似（幅 $1.5$ で中央の差 $0.5$ の放物線状）$\approx \frac{2}{3}\cdot 1.5\cdot 0.5=0.5$ とほぼ一致。