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積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 積分法

座標平面上で、曲線 $y = e^{x}$ 、 $x$ 軸、 $y$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

この問題で使うもの

面積と回転体の体積（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「面積と回転体の体積」の技能を使います。 $x$ 軸のまわりの回転体の体積は、断面の円の面積を積分して求めます。

ヒント 2

$V = π \int_{0}^{1} (e^{x})^{2} d x = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$ を計算します。

ヒント 3

$e^{2 x}$ の原始関数は $\frac{1}{2} e^{2 x}$ なので、 $V = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1}$ となります。

答えと解説

答えを見る

\frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}

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解説を読む

方針曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸、2 直線 $x = a$ , $x = b$ $(a < b)$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積は
$V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$
で求められる。これは、 $x$ 座標が $x$ の点で $x$ 軸に垂直な平面で切った断面が、半径 $∣ f (x) ∣$ の円になり、その面積が $π {f (x)}^{2}$ であることによる。

範囲と関数の確認 部分 $D$ は $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲にあり、 $e^{x} > 0$ なので曲線 $y = e^{x}$ は常に $x$ 軸より上にある。よって $f (x) = e^{x}$ 、 $a = 0$ 、 $b = 1$ として公式を使える。

計算 ${f (x)}^{2} = (e^{x})^{2} = e^{2 x}$ であるから
$V = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$
$(\frac{1}{2} e^{2 x})^{'} = e^{2 x}$ より、 $e^{2 x}$ の原始関数は $\frac{1}{2} e^{2 x}$ である。したがって
$V = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = π (\frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} e^{0}) = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$

答え： $V = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$

別解

$D$ は $0 \leq x \leq 1$ 、 $0 \leq y \leq e^{x}$ の部分である。 $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積は
$V = π \int_{0}^{1} (e^{x})^{2} d x = π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = π [\frac{1}{2} e^{2 x}]_{0}^{1} = \frac{π}{2} (e^{2} - 1)$ 。
検算： $e^{2} \approx 7.389$ より $V \approx \frac{π}{2} \times 6.389 \approx 10.04$ 。 $\int_{0}^{1} e^{2 x} d x \approx 3.19$ で、 $π \times 3.19 \approx 10.04$ となり一致する。

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