積分法の問題

方針 曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸および 2 直線 $x=a$, $x=b$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積は
$$V=\pi {\int }_a^b\{f(x){\}}^{2}dx$$
で求められます。これは、$x$ 軸に垂直な平面で切った切り口が半径 $|f(x)|$ の円になり、その面積 $\pi \{f(x){\}}^2$ を積分しているということです。

手順1：積分区間を決める $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で $\cos x\geqq 0$ であり、$x=\frac{\pi }{2}$ で $\cos x=0$ となって $x$ 軸と交わります。$D$ の左端は $y$ 軸 $(x=0)$ なので、積分区間は $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ です。

手順2：体積の式を立てる
$$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx$$

手順3：半角の公式で次数を下げる ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ より
$$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\pi {\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$$

手順4：値を代入する
$$V=\pi \left\{\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\sin \pi }{4}\right)-\left(0+\frac{\sin 0}{4}\right)\right\}=\pi \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{4}$$

よって $V=\frac{{\pi }^2}{4}$ です。

回転体の体積の公式より $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx$。
半角の公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を用いると、
$V=\pi {\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\pi {\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\pi \left(\frac{\pi }{4}+0\right)=\frac{{\pi }^2}{4}$。
検算：${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$ で、和は $\pi /2$ なので各々 $\pi /4$。よって $V=\pi \cdot \pi /4={\pi }^2/4$ で一致する。