積分法の問題

曲線 $y=e^x$ と直線 $y=e$ の交点は $(1,e)$、曲線 $y=e^x$ と $y$ 軸の交点は $(0,1)$ である。よって
$$D=\{(x,y)\mid 0\leqq x\leqq 1,e^x\leqq y\leqq e\}$$
である。

$D$ を $y$ 軸に垂直な直線で切ることを考える。$1\leqq y\leqq e$ のとき、$y=e^x$ を $x$ について解くと $x=\log y$ であるから、高さ $y$ における $D$ の切り口は $0\leqq x\leqq \log y$ の線分である。これを $y$ 軸のまわりに回転すると、半径 $\log y$ の円板になる。したがって
$$V=\pi {\int }_1^e(\log y{)}^{2}dy$$
である。

部分積分を用いる。
$$\int (\log y{)}^{2}dy=y(\log y{)}^2-\int y\cdot \frac{2\log y}{y}dy=y(\log y{)}^2-2\int \log ydy$$
さらに
$$\int \log ydy=y\log y-\int y\cdot \frac{1}{y}dy=y\log y-y+C$$
であるから、
$$\int (\log y{)}^{2}dy=y(\log y{)}^2-2y\log y+2y+C$$
となる。よって
$${\int }_1^e(\log y{)}^{2}dy=[y(\log y{)}^2-2y\log y+2y{]}_1^e=(e-2e+2e)-(0-0+2)=e-2$$
したがって
$$V=\pi (e-2)$$

領域 $D$ は $0\le x\le 1$、$e^x\le y\le e$ の部分である。曲線 $y=e^x$ は $x=\log y$ とも書けるので、$D$ は $1\le y\le e$、$0\le x\le \log y$ とも表せる。

$y$ 軸のまわりの回転体なので、$y$ で切った断面は半径 $\log y$ の円板になる。したがって
$V=\pi {\int }_1^e(\log y{)}^{2}dy$。

部分積分により $\int (\log y{)}^{2}dy=y({\log }^{2}y-2\log y+2)+C$ である。

よって
$V=\pi {\left[y({\log }^{2}y-2\log y+2)\right]}_1^e=\pi \{e(1-2+2)-2\}=\pi (e-2)$。

検算として円筒殻の方法でも求める。
$V=2\pi {\int }_0^{1}x(e-e^x)dx=2\pi {\left[\frac{e}{2}{x}^2-(x{e}^x-e^x)\right]}_0^1=2\pi \left(\frac{e}{2}-1\right)=\pi (e-2)$。
これは先の結果と一致する。