積分法の問題

1. 領域 $D$ の確認

$f(x)=\sin x-\frac{2}{\pi }x$ とおく。$f(0)=0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-1=0$ である。$0<x<\frac{\pi }{2}$ では $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x<0$ なので、$y=\sin x$ はこの区間で上に凸である。したがって、曲線は両端点 $(0,0)$, $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$ を結ぶ弦 $y=\frac{2}{\pi }x$ より上にあり、$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で
$$\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$$
が成り立つ。よって $D$ は、$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ において直線と曲線にはさまれた部分である。$y$ のとる範囲は $0\le y\le 1$ である。

2. $y$ 軸に垂直な断面

$0\le y\le 1$ を固定する。高さ $y$ で $D$ を切ると、$x$ の範囲は次のようになる。
- 左端(曲線上の点): $\sin x=y$ より $x=\arcsin y$
- 右端(直線上の点): $\frac{2}{\pi }x=y$ より $x=\frac{\pi }{2}y$

ここで $\arcsin y$ は、$\sin x=y$ を満たす $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ の値を表す。1 の不等式から $\arcsin y\le \frac{\pi }{2}y$ である。この断面を $y$ 軸のまわりに回転させると、外半径 $\frac{\pi }{2}y$、内半径 $\arcsin y$ の円環になる。よって
$$V=\pi {\int }_0^1\left(\frac{{\pi }^2}{4}{y}^2\right)dy-\pi {\int }_0^1{x}^{2}dy$$
である。ただし第 2 項の $x$ は、曲線 $y=\sin x$ 上で $y$ に対応する $x$ である。

3. 第 1 項の計算
$$\pi {\int }_0^1\frac{{\pi }^2}{4}{y}^{2}dy=\pi \cdot \frac{{\pi }^2}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{{\pi }^3}{12}$$

4. 第 2 項の計算(置換積分)

曲線上では $y=\sin x$ なので $dy=\cos xdx$ である。$y$ が $0\to 1$ のとき $x$ は $0\to \frac{\pi }{2}$ と動く。よって
$${\int }_0^1{x}^{2}dy={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2\cos xdx$$
部分積分を 2 回行う。
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2\cos xdx=[x^2\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2x\sin xdx=\frac{{\pi }^2}{4}-2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx$$
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=[-x\cos x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=0+[\sin x{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=1$$
したがって
$${\int }_0^1{x}^{2}dy=\frac{{\pi }^2}{4}-2$$

5. 体積
$$V=\frac{{\pi }^3}{12}-\pi \left(\frac{{\pi }^2}{4}-2\right)=\frac{{\pi }^3}{12}-\frac{{\pi }^3}{4}+2\pi =2\pi -\frac{{\pi }^3}{6}$$

(検算)${\pi }^2\approx 9.87$ より $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.645<2$ なので、$V=\pi \left(2-\frac{{\pi }^2}{6}\right)>0$ であり、矛盾はない。

以上より
$$V=2\pi -\frac{{\pi }^3}{6}$$

$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ では $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$ である（$\sin x$ は上に凸で、両者は $(0,0)$ と $(\frac{\pi }{2},1)$ で交わる）。領域 $D$ は $x\ge 0$ の側にあるので、円筒殻（バンドセル）法が使える。

$V={\int }_0^{\pi /2}2\pi x\left(\sin x-\frac{2}{\pi }x\right)dx$

${\int }_0^{\pi /2}x\sin xdx=[-x\cos x+\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$

${\int }_0^{\pi /2}\frac{2}{\pi }{x}^{2}dx=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{3}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^3=\frac{{\pi }^2}{12}$

よって $V=2\pi \left(1-\frac{{\pi }^2}{12}\right)=2\pi -\frac{{\pi }^3}{6}$。

検算（$y$ 方向の積分）：高さ $y$ での断面は $\arcsin y\le x\le \frac{\pi }{2}y$ の部分なので、
$V=\pi {\int }_0^1\left(\frac{{\pi }^2}{4}{y}^2-{\arcsin }^{2}y\right)dy$。
$y=\sin t$ と置くと ${\int }_0^1{\arcsin }^{2}ydy={\int }_0^{\pi /2}{t}^2\cos tdt=\frac{{\pi }^2}{4}-2$。
ゆえに $V=\pi \left(\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{{\pi }^2}{4}+2\right)=2\pi -\frac{{\pi }^3}{6}$ となり一致する。