積分法の問題

交点と位置関係

$x^3=x$ かつ $x\geqq 0$ より $x=0,1$ である。$0<x<1$ では $x^3<x$ なので、曲線は直線 $y=x$ の下側にある。囲まれた部分は $0\leqq x\leqq 1$ の範囲にある。

回転軸に沿った座標と半径

曲線上の点を $\mathrm{P}(x,x^3)(0\leqq x\leqq 1)$ とし、$\mathrm{P}$ から直線 $y=x$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とする。

- $\mathrm{PH}$ は点と直線 $x-y=0$ の距離なので
$$\mathrm{PH}=\frac{x-x^3}{\sqrt{2}}$$
- $\mathrm{H}$ は $\left(\frac{x+x^3}{2},\frac{x+x^3}{2}\right)$ である。よって原点 $\mathrm{O}$ から $\mathrm{H}$ までの距離を $t$ とすると
$$t=\mathrm{OH}=\frac{x+x^3}{\sqrt{2}}$$

$\frac{dt}{dx}=\frac{1+3x^2}{\sqrt{2}}>0$ より、$t$ は $x$ について単調に増加する。$x=0$ のとき $t=0$、$x=1$ のとき $t=\sqrt{2}$ である。

したがって、回転軸に垂直な平面で立体を切ると、切り口は半径 $\mathrm{PH}$ の円になる。

体積の計算

$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{2}}{\mathrm{PH}}^{2}dt$$

$t=\frac{x+x^3}{\sqrt{2}}$ で置換すると $dt=\frac{1+3x^2}{\sqrt{2}}dx$ であり、$t:0\to \sqrt{2}$ に $x:0\to 1$ が対応する。よって
$$V=\pi {\int }_0^1\frac{(x-x^3{)}^2}{2}\cdot \frac{1+3x^2}{\sqrt{2}}dx=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{\int }_0^1(x^2-2x^4+x^6)(1+3x^2)dx$$

被積分関数を展開すると
$$x^2-2x^4+x^6+3x^4-6x^6+3x^8=x^2+x^4-5x^6+3x^8$$

これを積分すると
$${\int }_0^1(x^2+x^4-5x^6+3x^8)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{5}{7}+\frac{1}{3}=\frac{70+21-75}{105}=\frac{16}{105}$$

ゆえに
$$V=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \frac{16}{105}=\frac{8\pi }{105\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{105}\pi$$

直線 $y=x$ に沿った座標 $t=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$ と、直線までの距離 $s=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ を考える。曲線上の点 $(x,x^3)$ $(0\le x\le 1)$ では $t=\frac{x+x^3}{\sqrt{2}}$、$s=\frac{x-x^3}{\sqrt{2}}$ である。

$\frac{dt}{dx}=\frac{1+3x^2}{\sqrt{2}}>0$ なので $t$ は $x$ について単調増加する。したがって各 $t$ で、囲まれた部分の断面は直線から曲線までの線分となり、回転体の断面は半径 $s$ の円になる。

$$V=\pi \int s^{2}dt=\pi {\int }_0^1\frac{(x-x^3{)}^2}{2}\cdot \frac{1+3x^2}{\sqrt{2}}dx=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}{\int }_0^1(x^2-2x^4+x^6)(1+3x^2)dx$$

被積分関数を展開すると $x^2+x^4-5x^6+3x^8$ である。

$${\int }_0^1(x^2+x^4-5x^6+3x^8)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{5}{7}+\frac{1}{3}=\frac{70+21-75}{105}=\frac{16}{105}$$

よって

$$V=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\cdot \frac{16}{105}=\frac{8\pi }{105\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}\pi }{105}$$

検算として、$x=1$ で $t=\sqrt{2}$ となり、$t$ の範囲は $0$ から $\sqrt{2}$ である。これは直線上の線分の長さ $\sqrt{2}$ と一致する。