積分法の問題

交点と上下関係

$\sin 2x=\sin x$ とすると $2\sin x\cos x-\sin x=0$ より
$$\sin x(2\cos x-1)=0$$
となる。$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{3}$ では $x=0,\frac{\pi }{3}$ で 2 曲線が交わる。

$0<x<\frac{\pi }{3}$ では $\sin x>0$ であり、$\cos x>\frac{1}{2}$ より $2\cos x-1>0$ である。したがって
$$\sin 2x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)>0$$
となり、$\sin 2x>\sin x$ が成り立つ。

また、この範囲では $\sin x\geqq 0$ である。よって $0\leqq \sin x\leqq \sin 2x$ であり、$D$ は $x$ 軸の上側にある。

体積の式

$D$ を $x$ 軸のまわりに回転させると、各 $x$ での断面は外半径 $\sin 2x$、内半径 $\sin x$ の円環になる。よって
$$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\left({\sin }^{2}2x-{\sin }^{2}x\right)dx$$
である。

半角の公式で次数を下げる

${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$、${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ より
$${\sin }^{2}2x-{\sin }^{2}x=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}$$
となる。したがって
$$V=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(\cos 2x-\cos 4x)dx=\frac{\pi }{2}{\left[\frac{\sin 2x}{2}-\frac{\sin 4x}{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{3}}$$
である。

値の計算

$\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$x=0$ での値は $0$ である。よって
$$V=\frac{\pi }{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{8}\right)=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{16}\pi$$

答え: $V=\frac{3\sqrt{3}}{16}\pi$

$0<x<\frac{\pi }{3}$ では $\sin 2x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)>0$ である。交点は $x=0,\frac{\pi }{3}$ で、この区間で $\sin 2x>\sin x\ge 0$ が成り立つ。したがって $D$ は $y=\sin 2x$ が上、$y=\sin x$ が下にあり、どちらも $x$ 軸より上にある。回転体は外側の曲線による立体から内側の曲線による立体を除いたもの（ワッシャー）になる。

$V=\pi {\int }_0^{\pi /3}({\sin }^{2}2x-{\sin }^{2}x)dx$

${\int }_0^{\pi /3}{\sin }^{2}2xdx={\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 4x}{8}\right]}_0^{\pi /3}=\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{16}$

${\int }_0^{\pi /3}{\sin }^{2}xdx={\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi /3}=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$

差は $\frac{\sqrt{3}}{16}+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{16}$ なので、$V=\frac{3\sqrt{3}}{16}\pi$。

検算：$\sin 4x$ を $x=\pi /3$ で評価すると $\sin (4\pi /3)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ で、符号は上記の通り。$\sin (2\pi /3)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ も同様に確認した。