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積分法

扱うテーマ: 置換積分・部分積分、三角関数・指数関数・対数関数の積分、定積分と面積、回転体の体積、曲線の長さ

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{1} x (x^{2} + 1)^{3} d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{2} x cos x d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $F (x)$ が
$F^{'} (x) = \frac{1}{x} + 3 x, F (1) = 0$
を満たすとき、 $F (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x$ は実数とする。関数 $F (x)$ が
$F^{'} (x) = e^{x} + cos x, F (0) = 3$
を満たすとき、 $F (x)$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $F (x)$ が
$F^{'} (x) = 3 x - \frac{2}{x}, F (1) = 0$
を満たすとき、 $F (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{3} x x^{2} + 1 d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。 $\int_{1}^{e} \frac{( lo g x ) ^{2}}{x} d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。 $\int_{1}^{e} \frac{( lo g x ) ^{3}}{x} d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $F (x)$ は、すべての実数 $x$ について
$F^{'} (x) = x cos x, F (0) = 0$
を満たす。 $F (x)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x cos x d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x cos x d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $\int_{0}^{1} \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 1（教科書の例題レベル）
定積分
$\int_{3}^{4} \frac{1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} d x$
を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 1（教科書の例題レベル）
定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 3 x cos x d x$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 3 x cos x d x$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
定積分 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 3 x cos x d x$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (x^{3} cos x + x sin x) d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{- π}^{π} (x^{3} + x sin x) d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{- π}^{π} (x^{2} + x) sin x d x$
難易度 1（教科書の例題レベル）
連続な関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ について
$\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{x}$
を満たしている。 $f (x)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
すべての実数 $x$ で連続な関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ について
$\int_{0}^{x} f (t) d t = x e^{x}$
を満たしている。このとき、 $f (x)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
連続な関数 $f (x)$ が、すべての実数 $x$ について
$\int_{0}^{x} f (t) d t = x^{3} + sin 2 x$
を満たしている。 $f (x)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = e^{x}$ 、 $x$ 軸、 $y$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
曲線 $y = e^{x}$ 、 $x$ 軸、および 2 直線 $x = 0$ 、 $x = 1$ で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ は正の整数とする。次の極限値を求めよ。
$n \to \infty lim \frac{1}{n n} k = 1 \sum n n + 3 k$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の極限値を求めよ。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{n + 2 k}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
次の極限値を求めよ。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n e^{\frac{k}{n}}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
曲線 $y = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} (0 ≦ x ≦ lo g 3)$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
曲線 $y = \frac{2}{3} x x (0 ≦ x ≦ 8)$ の長さ $L$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
曲線 $y = \frac{1}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} (0 ≦ x ≦ 3)$ の長さ $L$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = cos x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ 、 $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = cos x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ 、 $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = cos x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ 、 $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{s i n x} sin 2 x d x$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
媒介変数 $t$ を用いて
$x = 3 t^{2}, y = 2 t^{3} (0 ≦ t ≦ 22)$
と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = lo g x$ 、 $x$ 軸および直線 $x = e$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $y = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{2} lo g x (1 ≦ x ≦ e)$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標平面上で、曲線 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ と直線 $y = - x + \frac{5}{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。 $\int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} sin x d x$
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $y = (lo g x)^{2} (x > 0)$ と直線 $y = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 3（共通テストレベル）
$x > 0$ で定義された曲線
$C : y = \frac{x ^{2}}{8} - lo g x$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数である。 $C$ 上で $y$ の値が最小となる点を $P$ 、 $C$ 上の $x$ 座標が $4$ である点を $Q$ とする。曲線 $C$ の点 $P$ から点 $Q$ までの部分の長さを求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$0 ≦ x ≦ π$ において、曲線 $y = sin x$ と直線 $y = \frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$0 ≦ x < \frac{π}{2}$ の範囲において、2 曲線 $y = 2 sin x$ と $y = tan x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$0 ≦ x ≦ \frac{π}{3}$ の範囲において、2 曲線 $y = sin 2 x$ と $y = sin x$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
座標平面上において、曲線 $y = e^{x}$ 、直線 $y = e$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x sin x}{cos ^{3} x} d x$
難易度 3（共通テストレベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} tan^{3} x d x$
難易度 3（共通テストレベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。 $\int_{0}^{3} x^{3} e^{x^{2}} d x$
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $y = x sin x (0 ≦ x ≦ π)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
媒介変数 $t$ を用いて $x = e^{t} cos t, y = e^{t} sin t (0 ≦ t ≦ π)$ と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 3（共通テストレベル）
2 曲線 $y = x e^{- x}$ と $y = x^{2} e^{- x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 3（共通テストレベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。 $\int_{- 1}^{1} \frac{lo g ( 1 + x ^{2} )}{1 + e ^{x}} d x$
難易度 3（共通テストレベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{( sin x + cos x ) ^{2}} d x$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x ^{2} cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}} d x$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上で、曲線 $y = sin x (0 \leq x \leq \frac{π}{2})$ と直線 $y = \frac{2}{π} x$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を実数とし、座標平面上の曲線 $C$ を
$x = t^{2}, y = t - \frac{t ^{3}}{3}$
で定める。曲線 $C$ は自分自身とただ 1 点で交わる。その交点を $P$ とする。 $C$ のうち、 $P$ を出発して再び $P$ に戻るまでの部分は閉じた曲線になる。この部分の長さ $L$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
定積分
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}} d x$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
曲線 $y = x^{3} (x ≧ 0)$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分を、直線 $y = x$ のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
曲線 $C : y = (lo g x)^{2} (x ≧ 1)$ を考える。ただし、対数は自然対数とする。原点 $O$ から曲線 $C$ に引いた接線のうち、 $x$ 軸と異なるものを $ℓ$ とする。曲線 $C$ 、直線 $ℓ$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x ^{2} sin x}{cos ^{3} x} d x$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin 2 x lo g (2 + sin x) d x$ ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
媒介変数 $t$ （ $t$ は実数全体を動く）を用いて
$x = t^{2}, y = t - \frac{t ^{3}}{3}$
と表される曲線 $C$ がある。 $C$ はただ 1 つの点で自分自身と交わり、その点を始点かつ終点とする閉じた部分（ループ）をもつ。このループの長さを求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
定積分
$\int_{0}^{1} x lo g (x + x^{2} + 1) d x$
を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$t$ を正の実数とする。曲線 $C : y = lo g x (x > 0)$ 上の点 $(t, lo g t)$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。 $C$ 、 $ℓ$ および 2 直線 $x = 1$ 、 $x = e^{2}$ で囲まれた部分の面積を $S (t)$ とする。 $t$ が正の実数全体を動くとき、 $S (t)$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数とし、
$F (a) = \int_{1}^{e} ∣ lo g x - a ∣ d x$
とおく。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。 $a$ が実数全体を動くとき、 $F (a)$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{\frac{5}{4}}^{\frac{5}{3}} lo g (x + x^{2} - 1) d x$ ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数を表す。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin 2 x}{( 1 + sin x ) ( 1 + cos x )} d x$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上の曲線
$C : y = lo g \frac{e ^{x} + 1}{e ^{x} - 1} (x > 0)$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。曲線 $C$ のうち、 $lo g 2 ≦ y ≦ lo g 3$ を満たす部分の長さ $L$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x > 0$ で定義された微分可能な関数 $f (x)$ は、減少関数で $0 < f (x) < 1$ を満たし、 $x \to + 0 lim f (x) = 1$ である。さらに、曲線 $C : y = f (x) (x > 0)$ 上のどの点 $P$ についても、 $P$ における $C$ の接線と $x$ 軸の交点を $Q$ とすると $PQ = 1$ が成り立つ。
曲線 $C$ のうち $\frac{lo g 3 - 1}{2} ≦ x ≦ lo g (2 + 3) - \frac{3}{2}$ の部分の長さ $L$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ を正の整数とする。定積分 $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{( n sin x + n cos x ) ^{2 n}}$ の値を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の定積分の値を求めよ。 $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x ^{2}}{sin ^{2} x} d x$ ただし、被積分関数の $x = 0$ における値は $x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{sin ^{2} x} = 1$ と定めるものとし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$0 ≦ x ≦ π$ の範囲で、2 曲線 $y = sin x$ と $y = sin 2 x$ ではさまれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させるとき、 $D$ が通過する点全体がつくる立体を $K$ とする。 $D$ の一部は $x$ 軸の下側にあるので、 $x$ 軸の上側の部分と下側の部分が回転して重なるところがあるが、重なった部分は $K$ の中で 1 回だけ数える（ $K$ はそれぞれの部分を回転させてできる立体の和集合である）。 $K$ の体積 $V$ を求めよ。