積分法の問題

方針 $x$ 軸のまわりの回転体の体積は、$a\leqq x\leqq b$ の範囲で曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸の間の部分を回転させるとき
$$V=\pi {\int }_a^b\{f(x){\}}^{2}dx$$
で求められる。$x$ 軸に垂直な平面で切った断面が半径 $|f(x)|$ の円になり、その面積 $\pi \{f(x){\}}^2$ を積分するからである。

手順 1：範囲と式を確認する $0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ で $\cos x\geqq 0$ であり、$D$ はこの範囲で曲線 $y=\cos x$ と $x$ 軸の間の部分である（$x=0$ のとき $y=1$、$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $y=0$）。よって
$$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx$$

手順 2：半角の公式で次数を下げる ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ より
$$V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2x}{2}dx=\pi {\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$$

手順 3：計算する
$$V=\pi \left\{\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\sin \pi }{4}\right)-\left(0+\frac{\sin 0}{4}\right)\right\}=\pi \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{{\pi }^2}{4}$$

したがって $V=\frac{{\pi }^2}{4}$ である。

回転体の体積の公式より $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx$。
${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を用いると
$V=\pi {\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\pi \left(\frac{\pi }{4}+0-0\right)=\frac{{\pi }^2}{4}$。
検算：${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$ で、両者の和は $\pi /2$ だから各々 $\pi /4$。よって $V=\pi \cdot \pi /4={\pi }^2/4$。