面積と回転体の体積

指数・対数・三角関数のグラフで囲まれた面積と、回転体の体積を求められる

前提

定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
定積分と面積（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分と面積（数学II 微分法と積分法）

説明

曲線で囲まれた図形の面積は、指数・対数・三角関数のグラフでも、これまでと同じく「上の関数 − 下の関数」を定積分すれば求められます。この技能ではさらに、平面図形を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体（回転体）の体積も、定積分で求められるようにします。曲線で囲まれた部分の面積や、つぼ・球のような丸い立体の体積を求めるときに使います。

なぜそうしてよいのか

面積：区間 $a \leq x \leq b$ で $f (x) \geq g (x)$ なら、2 曲線で囲まれた部分の面積は $S = \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x$ です。これは前提の技能そのままで、関数が $e^{x}$ 、 $lo g x$ 、 $sin x$ などに変わっても考え方は変わりません。変わるのは、交点を求めるときに指数・対数・三角関数の方程式を解くことと、置換積分・部分積分・半角の公式などを使って積分を計算することだけです。

体積：立体を、 $x$ 軸に垂直な平面で切ります。切り口の面積を $A (x)$ とし、 $x = a$ から $x$ までの部分の体積を $V (x)$ とします。 $x$ から $x + Δ x$ （ $Δ x > 0$ ）までの薄い板の体積 $V (x + Δ x) - V (x)$ は、この範囲での $A$ の最小値を $m$ 、最大値を $M$ とすると $m Δ x$ 以上 $M Δ x$ 以下です。 $Δ x$ で割って $Δ x \to 0$ とすると、 $m$ も $M$ も $A (x)$ に近づくので $V^{'} (x) = A (x)$ となります（ $Δ x < 0$ のときも同様です）。 $V (a) = 0$ なので、体積は $V = \int_{a}^{b} A (x) d x$ と表せます。面積を求める積分と同じ考え方で、「切り口の面積を足し集めると体積になる」ということです。

曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸の間の部分を $x$ 軸のまわりに回転させると、点 $x$ での切り口は半径 $∣ f (x) ∣$ の円になります。したがって $A (x) = π {f (x)}^{2}$ です。よって $V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$ となります。 $0 \leq g (x) \leq f (x)$ の部分を回転させた場合は、切り口が外側の半径 $f (x)$ 、内側の半径 $g (x)$ のドーナツ形（円から円をくりぬいた形）になります。このとき $A (x) = π {f (x)}^{2} - π {g (x)}^{2}$ です。

手順

グラフをかき、交点（積分区間の端）を方程式を解いて求める。区間内でどちらの関数が上か、 $x$ 軸より上か下かを確かめる
面積なら $S = \int_{a}^{b} {(上) - (下)} d x$ を立てる。 $x$ 軸のまわりの回転体なら、切り口の円の半径 $∣ f (x) ∣$ を読み取り $V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$ を立てる（くりぬきがあるときは $π \int_{a}^{b} [{f (x)}^{2} - {g (x)}^{2}] d x$ ）
被積分関数を積分しやすい形に直す（ $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ などの公式、展開、置換・部分積分の準備）
定積分を計算する。体積では $π$ を掛け忘れていないか確かめる

例題

曲線 $y = sin x (0 \leq x \leq π)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、 $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $0 \leq x \leq π$ で $sin x \geq 0$ であり、曲線は $x = 0$ と $x = π$ で $x$ 軸と交わる。よって積分区間は $0 \leq x \leq π$ である。
【手順2】点 $x$ での切り口は半径 $sin x$ の円なので、切り口の面積は $π sin^{2} x$ である。よって $V = π \int_{0}^{π} sin^{2} x d x$ となる。
【手順3】半角の公式から $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ と書き直す。
【手順4】 $V = π \int_{0}^{π} \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = π [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π} = π (\frac{π}{2} - 0) = \frac{π ^{2}}{2}$

答え: $\frac{π ^{2}}{2}$

よくある誤り

くりぬきのある回転体で $V = π \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)}^{2} d x$ としてしまう誤り。切り口は「大きい円 − 小さい円」なので、正しくは $V = π \int_{a}^{b} [{f (x)}^{2} - {g (x)}^{2}] d x$ （例： $y = 1$ と $y = x$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）の間を回すと $π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{2}{3} π$ で、 $π \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} d x = \frac{π}{3}$ ではない）
$x$ 軸の下にある部分を含む面積を、そのまま $\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ と計算してしまう誤り。正しくは符号で区間を分けて $\int_{0}^{π} sin x d x - \int_{π}^{2 π} sin x d x = 2 + 2 = 4$
体積の式で $π$ を掛け忘れたり、2 乗し忘れて $π \int_{a}^{b} f (x) d x$ としてしまう誤り。正しくは切り口の円の面積 $π {f (x)}^{2}$ を積分して $V = π \int_{a}^{b} {f (x)}^{2} d x$ （例： $y = e^{x} (0 \leq x \leq 1)$ なら $π \int_{0}^{1} e^{2 x} d x = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$ ）
$sin^{2} x$ を積分するときに、そのまま $\frac{s i n ^{3} x}{3}$ としてしまう誤り。 $sin^{3} x$ を微分しても $sin^{2} x$ にはならないので誤りである。正しくは $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ と直してから $\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + C$ （ $C$ は積分定数）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

面積と回転体の体積

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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