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積分法の問題

難易度 3共通テストレベル数学III 積分法

$0 ≦ x ≦ π$ において、曲線 $y = sin x$ と直線 $y = \frac{1}{2}$ で囲まれた部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

この問題で使うもの

弧度法と単位円による三角関数（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
面積と回転体の体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず曲線と直線の交点の $x$ 座標を求め、回転したときの断面がどんな形になるかを考えましょう。

ヒント 2

断面は外半径 $sin x$ 、内半径 $\frac{1}{2}$ の円環です。よって $V = π \int (sin^{2} x - \frac{1}{4}) d x$ となります。 $sin^{2} x$ は半角の公式 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ で変形しましょう。

ヒント 3

積分区間は $\frac{π}{6} ≦ x ≦ \frac{5 π}{6}$ です。計算すると $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} sin^{2} x d x = \frac{π}{3} + \frac{3}{4}$ になります。ここから $\frac{1}{4}$ の積分の分を引きます。

答えと解説

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\frac{π ^{2}}{6} + \frac{3}{4} π

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解説を読む

交点を求める。 $0 ≦ x ≦ π$ で $sin x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$ である。 $\frac{π}{6} ≦ x ≦ \frac{5 π}{6}$ では $sin x ≧ \frac{1}{2}$ なので、 $D$ はこの範囲で曲線が上、直線が下にある部分である。

体積の式を立てる。 $D$ は $x$ 軸より上にある。 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、 $x$ における断面は外半径 $sin x$ 、内半径 $\frac{1}{2}$ の円環になる。よって
$V = π \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} (sin^{2} x - \frac{1}{4}) d x$

$sin^{2} x$ の積分を計算する。 $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ より
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} sin^{2} x d x = [\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}}$
$= (\frac{5 π}{12} - \frac{π}{12}) - \frac{1}{4} (sin \frac{5 π}{3} - sin \frac{π}{3})$
$= \frac{π}{3} - \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} - \frac{3}{2}) = \frac{π}{3} + \frac{3}{4}$

定数部分を計算する。
$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{5 π}{6}} \frac{1}{4} d x = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{6}$

まとめる。
$V = π (\frac{π}{3} + \frac{3}{4} - \frac{π}{6}) = π (\frac{π}{6} + \frac{3}{4}) = \frac{π ^{2}}{6} + \frac{3}{4} π$

別解

$0 ≦ x ≦ π$ で $sin x ≧ \frac{1}{2}$ となるのは $\frac{π}{6} ≦ x ≦ \frac{5 π}{6}$ 。この範囲で曲線は直線より上にあるので、 $D$ は $\frac{1}{2} ≦ y ≦ sin x$ の部分である。 $D$ は $x$ 軸より上にあるので、回転体の断面は外半径 $sin x$ 、内半径 $\frac{1}{2}$ のワッシャー形になる。

$V = π \int_{π /6}^{5 π /6} (sin^{2} x - \frac{1}{4}) d x$

$sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ より $\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$ のとき $\frac{5 π}{12} - \frac{s i n ( 5 π /3 )}{4} = \frac{5 π}{12} + \frac{3}{8}$ 。
$x = \frac{π}{6}$ のとき $\frac{π}{12} - \frac{s i n ( π /3 )}{4} = \frac{π}{12} - \frac{3}{8}$ 。

差は $\frac{π}{3} + \frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$ の積分は $\frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{6}$ 。

よって $V = π (\frac{π}{3} + \frac{3}{4} - \frac{π}{6}) = π (\frac{π}{6} + \frac{3}{4}) = \frac{π ^{2}}{6} + \frac{3}{4} π$ 。

検算： $\frac{π}{6} + \frac{3}{4} \approx 0.5236 + 0.4330 = 0.9566$ 。被積分関数は区間の中央 $x = \frac{π}{2}$ で $0.75$ 、両端で $0$ であり、区間の幅は $2.094$ 。その平均的な値は $0.46$ 程度なので、積分値 $0.9566$ と矛盾しない。

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