指数関数・対数関数の導関数

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=2^x+\log x$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=3^x+\log x$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=2^x-3\log x$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $$y=(x^2+1{)}^x$$ について、$x=1$ における微分係数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^x$$
について、$f^{\prime }(e)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底、$\log$ は自然対数を表す。

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ について、$f^{\prime }(e)$ の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=(x+1)e^{-x}$ のグラフの変曲点の座標を求めよ。

関数 $y=(x+1)e^{-x}$ のグラフについて、増減と凹凸を調べ、このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

関数 $y=x{e}^{-x}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$ を用いてよい。

$k$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$x\log x\geqq x+k$$ が成り立つような $k$ の最大値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$x>0$ のとき、不等式 $$x>2\log x$$ が成り立つことを示すために、差をとった関数 $$f(x)=x-2\log x(x>0)$$ を考える。$f(x)$ の最小値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$$x-\log x\geqq k$$
が成り立つような実数の定数 $k$ の最大値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x{e}^x$$
を満たしている。$f(x)$ を求めよ。

すべての実数 $x$ で連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x{e}^x$$
を満たしている。このとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}(0\leqq x\leqq \log 3)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

関数 $f(x)=e^{2x}$ のマクローリン展開を
$$e^{2x}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$$
とする。ただし $x$ は実数である。$x^4$ の係数 $a_4$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=\log (1+x)$ $(x>-1)$ について、$x=0$ における 3 次のテイラー多項式（マクローリン多項式）
$$P_3(x)=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

関数 $f(x)=\log (1+2x)$ $\left(x>-\frac{1}{2}\right)$ のマクローリン展開
$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$
における $x^3$ の係数 $a_3$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ は、すべての実数 $x$ で $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$\frac{dy}{dx}=y\cos x$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。

$$\begin{array}{ccccc}X& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{6}& 1\end{array}$$

$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$（$t$ は実数）を求め、それを微分して $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の順の組で答えよ。

確率変数 $X$ は値 $1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ でとる。$X$ の積率母関数 $M(t)=E\left(e^{tX}\right)$（$t$ は実数）を用いて、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ をこの順に求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{1}{6}$$
$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$ を求め、それを微分することで、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の組で答えよ。

$\lambda >0$ を未知の母数とする。ある窓口に 1 時間あたりに来る客の人数 $X$ は、確率関数
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（ただし $0!=1$）。異なる 7 つの時間帯で客の人数を互いに独立に観測したところ、
$$3,1,0,2,4,1,2$$
という結果を得た。この観測結果にもとづく $\lambda$ の最尤推定値を求めよ。

$p$ を $0<p<1$ を満たす未知の母数とする。ある試行を成功するまで繰り返し、初めて成功するまでの回数 $X$（成功した回も数える）は、確率関数
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
にしたがうとする。この実験を互いに独立に $4$ 回行ったところ、$X$ の観測値は $3,1,4,2$ であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

表が出る確率が $p$ $(0<p<1)$ の硬貨があり、$p$ は未知とする。「表が初めて出るまで硬貨を投げ続け、投げた回数を記録する」という試行を互いに独立に $5$ 回行う。$1$ 回の試行で記録される回数 $X$ は
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
に従う。記録された回数は
$$2,5,1,3,4$$
であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$\theta$ と $n$ を用いて求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=e^t{B}_t^2(t\ge 0)$$
とおく。伊藤の公式により、$X_t$ は $2$ 変数の連続関数 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、その確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
であるとする。$Y=-\log X$ とおく（$\log$ は自然対数）。$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{-x}$ について、曲線 $y=f(x)$ が上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。ここでは、$f^{\prime \prime }(x)<0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

関数 $f(x)=e^{2x}\sin x$ について、すべての実数 $x$ に対して
$$f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは組 $(a,b)$ の形で答えよ。

関数 $f(x)=e^{2x}\cos x$ について、すべての実数 $x$ で
$$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で答えよ。

$x>0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような実数 $a$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=(x^2-2)e^{-x}$ について、$f^{\prime }(x)<0$ かつ $f^{\prime \prime }(x)>0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。これは、$f(x)$ が減少していて、しかも曲線 $y=f(x)$ が下に凸になっている範囲である。

曲線 $C:y=x{e}^x$ 上の点 $\mathrm{P}(1,e)$ における $C$ の接線を $\ell$、法線を $m$ とする。2 直線 $\ell$, $m$ と $y$ 軸で囲まれる三角形の面積 $S$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^{\sin x}$$
について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x\log x=k(x>0)$$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であることを用いてよい。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3{e}^{-x}$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。曲線 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標をすべて求めよ。

曲線 $$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\leqq x\leqq e)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

曲線
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\le x\le e)$$
の長さ $L$ を求めよ。

複素関数
$$f(z)=\frac{z^2{e}^z}{(z-2{)}^2}$$
の $z=2$ における留数 ${\mathrm{Res}}_{z=2}f(z)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とする。確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ母集団から、大きさ $4$ の無作為標本を抽出したところ、観測値は
$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{2}$$
であった。この観測値に基づく $\theta$ の最尤推定値を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(2t,t^2,\log t\right)(t>0)$$
を考える。${\mathbb{R}}^3$ には標準内積と標準的な向きを入れ、ねじれ率 $\tau$ は $\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$ と符号を定める。$t=1$ に対応する点 $(2,1,0)$ における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ を、組 $(\kappa ,\tau )$ の形でこの順に求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(1-s)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)(t\ge 0)$ とする。この系は右半平面 $s=1$ に零点をもつため、ステップ応答は最初に負の向きへ振れる（逆ぶれ）。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 2),x(0)=0$$
を考える。終端時刻 $2$ は固定で、終端状態 $x(2)$ は自由とする。評価関数
$$J[u]=x(2)-\frac{1}{2}{\int }_0^{2}u(t)dt$$
の最大値を求めよ。

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-5y\\ y^{\prime }=x-y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たすとする。$x\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

1 入力 1 出力の連続時間線形時不変系の伝達関数 $G(s)$ は実係数の真にプロパーな有理関数であり、次の条件をすべて満たすとする（$G(s)$ は既約な形で考え、分子と分母に共通因子はないものとする）。

• $G(s)$ の極は $s=-1$ と $s=-2$ のみで、いずれも単純極である。
• $G(s)$ の零点は $s=1$ のみで、単純零点である。
• 直流ゲインは $G(0)=1$ である。

この系に、初期状態を零として単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最小値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

放射性核種 X は半減期 $3T$ で崩壊して放射性核種 Y になり、Y は半減期 $T$ で崩壊して安定な核種 Z になる（$T>0$）。X, Y の崩壊の経路はそれぞれこの 1 つだけとする。時刻 $t=0$ において試料には X だけが $N_0$ 個（$N_0>0$）含まれ、Y と Z は含まれていない。試料の外との原子核の出入りはないものとする。

試料の中で単位時間あたりに起こる崩壊の総数（X の崩壊と Y の崩壊の合計）を $R(t)$ とする。$t>0$ において $R(t)$ が最大になる時刻を、$T$ を用いて表せ。ただし $\log$ は自然対数とする。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して不等式
$$e^x\ge a(x+2)$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$$\log x\le a\sqrt{x}$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=\frac{(\log x{)}^2}{x}$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$f^{\prime }(x)>0$ かつ $f^{\prime \prime }(x)<0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。

$x>0$ で定義された曲線
$$C:y=\frac{x^2}{8}-\log x$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$C$ 上で $y$ の値が最小となる点を $\mathrm{P}$、$C$ 上の $x$ 座標が $4$ である点を $\mathrm{Q}$ とする。曲線 $C$ の点 $\mathrm{P}$ から点 $\mathrm{Q}$ までの部分の長さを求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $C:y=\log x(x>0)$ 上の点 $\mathrm{P}(t,\log t)$ を考える。ただし、$t$ は正の実数であり、$\log$ は自然対数とする。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の接線を $\ell$、法線を $m$ とし、$\ell$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{A}$、$m$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{B}$ とする。三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積が $5$ となるような $t$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=e^{-x}$ 上の点 $\mathrm{P}(t,e^{-t})$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。ただし、$t$ は正の実数とし、$e$ は自然対数の底とする。$\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$、$\ell$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{R}$、原点を $\mathrm{O}$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{OQR}$ の面積の最大値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $$x=e^t\cos t,y=e^t\sin t(0\leqq t\leqq \pi )$$ と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+y=y^2\log x$$ と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数直線 $\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2)e^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での微分を用いて $w=u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u$ とおき、$g(x)=e^{-x^2}$ とする。畳み込み $w\ast g$ は $\mathbb{R}$ 上の $C^{\infty }$ 級関数である。その $x=1$ における値 $(w\ast g)(1)$ を求めよ。

水素原子の電子の $n=2,l=1$ の状態（2p 状態）の動径波動関数は、ボーア半径を $a$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
である。波動関数は ${\psi }_{21m}(r,\theta ,\varphi )=R_{21}(r)Y_{1m}(\theta ,\varphi )$（$Y_{1m}$ は規格化された球面調和関数）で、原子核は静止した点とみなす。

電子が 2p 状態（$m$ は $-1,0,1$ のどれでもよい）にあるとき、原子核からの距離が $r$ と $r+dr$ の間に見いだされる確率を $P(r)dr$ とする。$P(r)$ が最大となる距離を $r_{\mathrm{p}}$ とするとき、電子が原子核から距離 $r_{\mathrm{p}}$ 未満の範囲に見いだされる確率を求めよ。

ある純物質の固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、三重点の近くでそれぞれ
$$\log \frac{P}{P_{\ast }}=\alpha -\frac{\beta }{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_{\ast }}=\gamma -\frac{\delta }{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
で表されることが測定からわかっている。ここで $P$ は圧力、$T$ は絶対温度、$P_{\ast }$ は圧力の単位となる正の定数、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ は $\alpha >\gamma$, $\beta >\delta >0$ を満たす定数である。

三重点での固相と液相のモル体積をそれぞれ $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$（$v_{\mathrm{l}}>v_{\mathrm{s}}>0$）とする。三重点における融解曲線（固相と液相の共存曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$R$（気体定数）, $\alpha$, $\gamma$, $v_{\mathrm{s}}$, $v_{\mathrm{l}}$ のうち必要なものを用いて求めよ。

ただし、昇華曲線・蒸気圧曲線にクラウジウス・クラペイロンの式を使うときは、固相・液相のモル体積は気相のモル体積に比べて無視でき、気相は理想気体とみなせるものとする。

断面積が一定で、高さ $H$ の鉛直に立てた密閉容器の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。容器内には鉛直下向きの一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）がはたらき、容器の底を高さ $0$ として、高さ $z$ にある分子は位置エネルギー $mgz$（$0\leqq z\leqq H$）をもつ。気体は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、分子は古典的に扱ってよい（分子間の相互作用と分子の内部自由度は無視する）。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{mgH}{k_{B}T}$ とおく。容器の体積を一定に保ったときのこの気体の熱容量を、$N,k_B,x$ を用いて表せ。

$t>0$ で定義された関数 $g(t)=\frac{1-\cos 2t}{t}$ のラプラス変換 $G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$（$s>0$）を、公式
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right](s)={\int }_s^{\infty }F(u)du(F=\mathcal{L}[f])$$
を用いて求めることにより、定積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{e^{-t}(1-\cos 2t)}{t}dt$$
の値を求めよ。

伝達関数
$$G(s)=\frac{6(s+1)}{(s+2)(s+3)}$$
で表される線形時不変系を考える。この系の極はすべて負の実数であるが、零点 $s=-1$ が極より虚軸に近いため、ステップ応答に行き過ぎ（オーバーシュート）が生じる。

初期状態を $0$ とし、時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $u(t)=1(t\ge 0)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。$t\ge 0$ における $y(t)$ の最大値を与える時刻 $t_p$ と最大値 $y_{\max }$ を、この順に組 $(t_p,y_{\max })$ で求めよ。

インパルス応答が
$$h(t)=t{e}^{-t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系に、幅 $1$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、系は $t<0$ で静止している（出力は $0$）とする。

出力 $y(t)$ が最大値をとる時刻 $t$ を求めよ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

正の定数 $N,\beta ,\gamma$ に対し、SIR モデル
$$S^{\prime }(t)=-\frac{\beta }{N}S(t)I(t),I^{\prime }(t)=\frac{\beta }{N}S(t)I(t)-\gamma I(t),R^{\prime }(t)=\gamma I(t)$$
を初期条件 $S(0)=S_0,I(0)=I_0,R(0)=0$（ただし $S_0>0,I_0>0,S_0+I_0=N$）のもとで考え、基本再生産数を $R_0=\frac{\beta }{\gamma }$ とおく。

この初期値問題の解 $(S(t),I(t),R(t))$ が $t\ge 0$ で一意に存在して $C^1$ 級であり、すべての $t\ge 0$ で $S(t)>0,I(t)>0$ であることは用いてよい。

このとき、極限 $S_{\infty }=\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$ が存在して
$$0<S_{\infty }<\frac{N}{R_0}$$
を満たすことを証明せよ。

曲線 $C:y=\frac{\log x}{x}(x>0)$ を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$b$ を実数の定数とし、$y$ 軸上の点 $\mathrm{B}(0,b)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。なお、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ を用いてよい。

$x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)$ は $2$ 回微分可能で、$f(0)=1$ であり、$x>0$ で $f^{\prime }(x)>0$ を満たす。曲線 $C:y=f(x)$ 上のどの点 $\mathrm{P}(t,f(t))$ $(t\geqq 0)$ についても、点 $\mathrm{M}(t,0)$ と、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線との距離が $1$ であるという。$f(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

区間 $x\geqq 0$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $x+2y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$(y^2+xy+y)+(x+2y)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(2)$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

ある純物質の三重点の近くで、固相と気相が共存する曲線（昇華曲線）と、液相と気相が共存する曲線（蒸気圧曲線）が、それぞれ次の式で表されるとする。
$$\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{s}}-\frac{b_{\mathrm{s}}}{T}(\text{昇華曲線}),\log \frac{P}{P_0}=a_{\mathrm{l}}-\frac{b_{\mathrm{l}}}{T}(\text{蒸気圧曲線})$$
ここで $P$ は共存する圧力、$T$ は絶対温度、$P_0$ は基準の圧力（正の定数）である。$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},b_{\mathrm{s}},b_{\mathrm{l}}$ は定数で、$a_{\mathrm{s}}>a_{\mathrm{l}}$、$b_{\mathrm{s}}>b_{\mathrm{l}}>0$ を満たす。

この物質のモル質量を $M$、三重点における固相の密度を ${\rho }_{\mathrm{s}}$、液相の密度を ${\rho }_{\mathrm{l}}$（${\rho }_{\mathrm{s}}>{\rho }_{\mathrm{l}}>0$）、気体定数を $R$ とする。気相は理想気体とみなし、気相のモル体積に比べて固相・液相のモル体積は無視できるものとする（昇華曲線・蒸気圧曲線を扱うときのみ）。また、三重点の近くで昇華熱と蒸発熱は温度によらないとする。

このとき、三重点における固相と液相が共存する曲線（融解曲線）の傾き $\frac{dP}{dT}$ を、$a_{\mathrm{s}},a_{\mathrm{l}},M,{\rho }_{\mathrm{s}},{\rho }_{\mathrm{l}},R$ を用いて表せ（SI 単位系で考える）。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$e^x\sin x=k(0\leqq x\leqq 3\pi )$$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$4e^x=k\left(4x^2+3\right)$$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}=\infty$ を用いてよい。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=x+\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$f(x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g(x)$ をもつ。このとき、$g^{\prime \prime }(2+\log 5)$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=(x^2+a)e^{-x}$$
を考える。$x>0$ において $f(x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y=f(x)(x>0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=(\log x{)}^2(x\geqq 1)$ を考える。ただし、対数は自然対数とする。原点 $\mathrm{O}$ から曲線 $C$ に引いた接線のうち、$x$ 軸と異なるものを $\ell$ とする。曲線 $C$、直線 $\ell$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

$t$ を正の実数とする。曲線 $C:y=\log x(x>0)$ 上の点 $(t,\log t)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$C$、$\ell$ および 2 直線 $x=1$、$x=e^2$ で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、$S(t)$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=x^2{e}^{2x}$（$x$ は実数）を考える。正の整数 $n$ に対して、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。それらを ${\alpha }_n,{\beta }_n({\alpha }_n<{\beta }_n)$ とするとき、${\beta }_n-{\alpha }_n$ を $n$ の式で表せ。

$a$ を $a>1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=x-a\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$a>1$ のとき、$f(x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。$f(x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$f(x)$ を $7$ 回微分して得られる第 $7$ 次導関数を $f^{(7)}(x)$ と表すとき、$f^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\log x(x>0)$ と点 $\mathrm{A}(3,b)$ を考える。ただし、$b$ は実数の定数であり、$\log$ は自然対数である。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の法線がちょうど $3$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数とし、
$$F(a)={\int }_1^e\left|\log x-a\right|dx$$
とおく。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$a$ が実数全体を動くとき、$F(a)$ の最小値を求めよ。

座標平面上の曲線
$$C:y=\log \frac{e^x+1}{e^x-1}(x>0)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。曲線 $C$ のうち、$\log 2\leqq y\leqq \log 3$ を満たす部分の長さ $L$ を求めよ。

$a$ を $0$ でない実数の定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=(x^2+ax+1)e^{-x}$$
を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ の極小値を $m(a)$ とする。$a$ が $0$ でない実数全体を動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

$x>\frac{1}{e}$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ は $x>\frac{1}{e}$ で単調に増加するので逆関数をもつ。その逆関数を $g(x)$ とするとき、$g(x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{\prime \prime \prime }(x)$ の $x=1$ における値 $g^{\prime \prime \prime }(1)$ を求めよ。

$a$ を正の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$\log (1+x)>\frac{x}{1+ax}$$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$t\ge 0$ で定義された関数 $x_1(t),x_2(t),x_3(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=-2x_1+x_2\\ x_2^{\prime }=x_1-2x_2+x_3\\ x_3^{\prime }=x_2-2x_3\end{array}$$ と初期条件 $x_1(0)=0$, $x_2(0)=1$, $x_3(0)=0$ を満たすとする。$t>0$ の範囲で $x_1(t)$ が最大となる $t$ の値を求めよ。