関数解析の問題

$M^{\perp }$ に属する関数. $u$ を $[0,1]$ 上の $C^2$ 級関数で $u^{\prime \prime }=u$ を満たすものとする。$f\in M$ に対し、$f$ は絶対連続なので部分積分ができて
$$⟨f,u⟩={\int }_0^{1}fudx+[f{u}^{\prime }{]}_0^1-{\int }_0^{1}f{u}^{\prime \prime }dx=f(1)u^{\prime }(1)-f(0)u^{\prime }(0)+{\int }_0^{1}f(u-u^{\prime \prime })dx=0.$$
よって $u\perp M$ である。

直交分解. $u^{\prime \prime }=u$ の解 $u(x)=\cosh x+B\sinh x$ で、境界値が $g$ と一致する、すなわち $u(0)=g(0)=1$, $u(1)=g(1)=2$ となるものをとる。$u(0)=1$ は自動的に成り立ち、$u(1)=\cosh 1+B\sinh 1=2$ より
$$B=\frac{2-\cosh 1}{\sinh 1}.$$
このとき $g-u\in M$ であり $u\perp M$ だから、$g=(g-u)+u$ は $M\oplus M^{\perp }$ への直交分解である。したがって $g$ の $M$ への直交射影は $g-u$ で、
$$d^2=\Vert g-(g-u){\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2.$$
（実際、任意の $f\in M$ に対し $\Vert g-f{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert (g-u)-f{\Vert }^2\ge \Vert u{\Vert }^2$ で、等号は $f=g-u$ のとき。）

$\Vert u{\Vert }^2$ の計算. 部分積分と $u^{\prime \prime }=u$ より
$$\Vert u{\Vert }^2={\int }_0^1(u^2+u^{\prime 2})dx=[u{u}^{\prime }{]}_0^1+{\int }_0^{1}u(u-u^{\prime \prime })dx=u(1)u^{\prime }(1)-u(0)u^{\prime }(0).$$
$u^{\prime }(x)=\sinh x+B\cosh x$ より $u^{\prime }(0)=B$、
$$u^{\prime }(1)=\sinh 1+B\cosh 1=\frac{{\sinh }^{2}1+2\cosh 1-{\cosh }^{2}1}{\sinh 1}=\frac{2\cosh 1-1}{\sinh 1}.$$
よって
$$\Vert u{\Vert }^2=2\cdot \frac{2\cosh 1-1}{\sinh 1}-\frac{2-\cosh 1}{\sinh 1}=\frac{5\cosh 1-4}{\sinh 1}.$$
$\cosh 1=\frac{e^2+1}{2e}$, $\sinh 1=\frac{e^2-1}{2e}$ を代入すると
$$d^2=\frac{5(e^2+1)-8e}{e^2-1}=\frac{5e^2-8e+5}{e^2-1}.$$
（数値は約 $3.161$。）

$H^1=M\oplus M^{\perp }$ であり、$g=f+h$（$f\in M$, $h\in M^{\perp }$）と分解すると $d^2=\Vert h{\Vert }^2$。

$M^{\perp }$ の特徴づけ: $h\perp M$ とは、任意の $\varphi \in C_c^{\infty }(0,1)$ について $\int (h\varphi +h^{\prime }{\varphi }^{\prime })dx=0$、つまり弱い意味で $-h^{\prime \prime }+h=0$。よって $h=A\sinh x+B\cosh x$。

$g-h=f\in M$ より $h(0)=g(0)=1$, $h(1)=g(1)=2$。$h(0)=B=1$、$h(1)=A\sinh 1+\cosh 1=2$ より $A=\frac{2-\cosh 1}{\sinh 1}$。

$\Vert h{\Vert }^2={\int }_0^1(h^2+h^{\prime 2})dx=[h{h}^{\prime }{]}_0^1-{\int }_0^{1}h(h^{\prime \prime }-h)dx=h(1)h^{\prime }(1)-h(0)h^{\prime }(0)$。
$h^{\prime }(x)=A\cosh x+\sinh x$ より $h^{\prime }(0)=A$, $h^{\prime }(1)=A\cosh 1+\sinh 1$。
$d^2=2(A\cosh 1+\sinh 1)-A=A(2\cosh 1-1)+2\sinh 1$。
$c=\cosh 1,s=\sinh 1$ として $d^2=\frac{(2-c)(2c-1)+2s^2}{s}=\frac{5c-4-2c^2+2s^2}{s}\cdot$ ここで $(2-c)(2c-1)=5c-2-2c^2$、$2s^2=2c^2-2$ なので分子は $5c-4$。よって $d^2=\frac{5\cosh 1-4}{\sinh 1}$。

$\cosh 1=\frac{e+e^{-1}}{2}$, $\sinh 1=\frac{e-e^{-1}}{2}$ を代入し分子分母に $2e$ を掛けると
$$d^2=\frac{5e^2-8e+5}{e^2-1}\approx \mathrm{3.161.}$$
確認: $\Vert g{\Vert }^2={\int }_0^1((1+x^2{)}^2+4x^2)dx=3.2$ で $d^2\le \Vert g{\Vert }^2$ を満たす。