関数解析の問題

1. 固有値問題を微分方程式に直す。 核 $K$ は $[0,1{]}^2$ 上連続かつ対称なので $T$ はコンパクト自己共役作用素である。$Tf=\lambda f$（$\lambda \ne 0$）とすると $f={\lambda }^{-1}Tf$ は連続である。
$$(Tf)(x)=\frac{2-x}{2}{\int }_0^{x}yf(y)dy+\frac{x}{2}{\int }_x^1(2-y)f(y)dy$$
を微分すると、境界項 $\pm \frac{x(2-x)}{2}f(x)$ が打ち消し合って
$$(Tf{)}^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{\int }_0^{x}yf(y)dy+\frac{1}{2}{\int }_x^1(2-y)f(y)dy,$$
さらに
$$(Tf{)}^{\prime \prime }(x)=-\frac{x}{2}f(x)-\frac{2-x}{2}f(x)=-f(x).$$
また $(Tf)(0)=0$、$(Tf)(1)=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}yfdy$、$(Tf{)}^{\prime }(1)=-\frac{1}{2}{\int }_0^{1}yfdy$ より $(Tf)(1)+(Tf{)}^{\prime }(1)=0$。したがって固有関数 $f$ は $C^2$ 級で
$$-\lambda f^{\prime \prime }=f,f(0)=0,f^{\prime }(1)+f(1)=0$$
を満たす。逆に、$u\in C^2$ が $-u^{\prime \prime }=g$, $u(0)=0$, $u^{\prime }(1)+u(1)=0$ を満たせば $u=Tg$ である（差 $v=u-Tg$ は $v^{\prime \prime }=0$ より $v=ax$、境界条件より $2a=0$）。よって $\lambda \ne 0$ が固有値であることと、上の境界値問題が非自明解をもつことは同値である。

2. 固有値の符号と多重度。 上の方程式に $\bar{f}$ を掛けて積分すると、${\int }_0^1{f}^{\prime \prime }\bar{f}dx=[f^{\prime }\bar{f}{]}_0^1-{\int }_0^1|f^{\prime }{|}^{2}dx=-|f(1){|}^2-{\int }_0^1|f^{\prime }{|}^{2}dx$ より
$$\lambda (|f(1){|}^2+{\int }_0^1|f^{\prime }{|}^{2}dx)={\int }_0^1|f{|}^{2}dx>0$$
となり $\lambda >0$。$\lambda =1/k^2(k>0)$ とおくと $f(0)=0$ から $f=c\sin kx$ で、境界条件は $k\cos k+\sin k=0$。固有空間はすべて 1 次元である。

3. 特性関数。 整関数
$$\phi (w)=\frac{\sin \sqrt{w}}{\sqrt{w}}+\cos \sqrt{w}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1{)}^m{w}^m(\frac{1}{(2m+1)!}+\frac{1}{(2m)!})$$
を考える（$\sqrt{w}$ の分枝によらない）。$u_w(x)=\sin (\sqrt{w}x)/\sqrt{w}$ は $-u^{\prime \prime }=wu$, $u(0)=0$, $u^{\prime }(0)=1$ の解で、$\phi (w)=u_w^{\prime }(1)+u_w(1)$ である。よって $\phi (w)=0⟺1/w$ が $T$ の固有値（$\phi (0)=2\ne 0$）。ゆえに $\phi$ の零点は $w_n=1/{\lambda }_n>0$ のみである。

零点が単純であることを確かめる。$h(k)=\phi (k^2)=\frac{\sin k}{k}+\cos k$ とおくと、零点では $\cos k=-\frac{\sin k}{k}$ なので
$$h^{\prime }(k)=\frac{\cos k}{k}-\frac{\sin k}{k^2}-\sin k=-\sin k(\frac{2}{k^2}+1)\ne 0$$
となる（$\sin k=0$ なら $\cos k=0$ となり矛盾）。さらに $dw/dk=2k\ne 0$ なので、$\phi$ の零点は単純である。

4. 無限積表示。 $|\phi (w)|\le 2e^{|w{|}^{1/2}}$ より $\phi$ の位数は $1/2<1$ である。アダマールの因数分解定理（種数 $0$）により
$$\phi (w)=\phi (0)\prod _{n=1}^{\infty }(1-\frac{w}{w_n})=2\prod _{n=1}^{\infty }(1-w{\lambda }_n)(w\in \mathbb{C}).$$
（検算：$w$ の 1 次の係数を比べると $-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-2\sum {\lambda }_n$ より $\sum {\lambda }_n=\frac{1}{3}$。これは ${\int }_0^{1}K(x,x)dx={\int }_0^1\frac{x(2-x)}{2}dx=\frac{1}{3}$ と一致する。）

5. 値の計算。 $w=-1$ を代入し、$\sqrt{-1}=i$ をとると $\frac{\sin i}{i}=\sinh 1$, $\cos i=\cosh 1$ だから
$$\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\lambda }_n)=\frac{\phi (-1)}{2}=\frac{\sinh 1+\cosh 1}{2}=\frac{e}{2}.$$

$K$ は、$-u^{\prime \prime }=f$、$u(0)=0$、$u^{\prime }(1)+u(1)=0$ のグリーン関数である。

確認する。$x<y$ では $K=\frac{1}{2}x(2-y)$ で、$x=0$ で $0$ になる。$x>y$ では $K=\frac{1}{2}y(2-x)$ で、$x=1$ において ${\partial }_{x}K=-y/2$、$K=y/2$ だから ${\partial }_{x}K+K=0$ が成り立つ。$x=y$ での ${\partial }_{x}K$ の跳びは $-y/2-(2-y)/2=-1$ である。

したがって $T$ の逆は、この境界条件のもとでの $-d^2/d{x}^2$ である。$T$ の固有値は ${\lambda }_n=1/k_n^2$ で、$k_n>0$ は $u=\sin kx$ が $u^{\prime }(1)+u(1)=0$ を満たす条件から
$$k\cos k+\sin k=0$$
の正の根となる。

$g(k)=\frac{k\cos k+\sin k}{k}=\cos k+\frac{\sin k}{k}$ は偶関数で、位数 1 の整関数である。$g(0)=2$ で、零点はちょうど $\pm k_n$ である。$k$ の偶関数なので $k^2$ の関数として位数 $1/2$ になり、指数因子のないホイッタカー・アダマール積表示が使える。
$$\frac{g(k)}{2}=\prod _n(1-\frac{k^2}{k_n^2}).$$

$k=i$ とおくと、$\cos i=\cosh 1$、$\sin i/i=\sinh 1$ だから
$$\prod _n(1+\frac{1}{k_n^2})=\frac{\cosh 1+\sinh 1}{2}=\frac{e}{2}.$$

検算として、$g(k)/2=1-k^2/3+\cdots$ より $\sum 1/k_n^2=1/3$ である。一方 $\mathrm{tr}T={\int }_0^1\frac{1}{2}x(2-x)dx=1/3$ で一致する。また ${\lambda }_1\approx 1/2.0288^2\approx 0.243$ より $1+{\lambda }_1\approx 1.243$ で、$e/2\approx 1.359$ と矛盾しない。