スペクトルとスペクトル半径

作用素のスペクトルを求め、スペクトル半径の公式 $r (T) = lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を使える

前提

有界線形作用素と作用素ノルム（大学院数学関数解析）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

有界線形作用素 $T$ のスペクトル $σ (T)$ とは、 $T - λ I$ が有界な逆をもたない複素数 $λ$ 全体の集合です。行列の固有値の集合を無限次元へ広げたものにあたります。スペクトル半径 $r (T) = sup {∣ λ ∣ : λ \in σ (T)}$ は、ゲルファントの公式 $r (T) = lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を使うと、べき乗の作用素ノルムだけから計算できます。積分作用素のように固有値を直接探しにくい作用素でも、スペクトルが収まる円板を求めたり、スペクトルそのものを決めたりできます。

なぜそうしてよいのか

以下、 $X$ は複素バナッハ空間、 $T$ は $X$ 上の有界線形作用素、 $I$ は恒等作用素とします。有界作用素全体は作用素ノルムについて完備です。 $λ \in C$ に対し、 $T - λ I$ が全単射でその逆も有界であるとき、 $λ$ はレゾルベント集合に属するといいます。そうでない $λ$ 全体がスペクトル $σ (T)$ です。有限次元では、次元定理により「単射でない」と「全射でない」は同じことで、どちらも $det (A - λ E) = 0$ と同値です。逆行列は自動的に有界なので、 $σ (A)$ はちょうど固有値の集合になります。

スペクトルが原点を中心とする円板に収まるのは、等比級数 $\frac{1}{λ - t} = \sum_{k \geq 0} t^{k} / λ^{k + 1}$ と同じ計算ができるからです。級数 $R = \sum_{k = 0}^{\infty} T^{k} / λ^{k + 1}$ を考えます。 $∣ λ ∣ > lim sup ∥ T^{k} ∥^{1/ k}$ なら、各項のノルムに根判定法を使って、この級数は絶対収束します。完備性から $R$ は有界作用素として定まり、項ごとに計算すると $(λ I - T) R = R (λ I - T) = I$ が成り立ちます。よって $λ \in / σ (T)$ であり、 $r (T) \leq lim sup ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ がわかります。特に $∥ T^{n} ∥ \leq ∥ T ∥^{n}$ なので、 $σ (T) \subset {∣ λ ∣ \leq ∥ T ∥}$ です。

別の評価には、次の因数分解を使います。
$T^{n} - λ^{n} I = (T - λ I) P = P (T - λ I), P = k = 0 \sum n - 1 λ^{n - 1 - k} T^{k}$
$T^{n} - λ^{n} I$ が有界な逆 $Q$ をもつとします。このとき $P Q$ は $T - λ I$ の右逆、 $QP$ は左逆です。左逆と右逆は一致するので、 $T - λ I$ も有界な逆をもちます。対偶をとると、 $λ \in σ (T)$ なら $λ^{n} \in σ (T^{n})$ です。したがって $∣ λ ∣^{n} \leq ∥ T^{n} ∥$ となり、すべての $n$ について $r (T) \leq ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ が成り立ちます。さらに、レゾルベント $(T - λ I)^{- 1}$ が $λ$ の複素関数として正則であることを使うと、 $r (T) \geq lim sup ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ も示せます（ゲルファントの定理）。以上をまとめると
$n in f ∥ T^{n} ∥^{1/ n} \leq lim inf \leq lim sup \leq r (T) \leq n in f ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$
となります。よって極限が存在して、 $r (T) = lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n} = in f_{n} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ です。同じ定理から、 $X \neq = {0}$ ならスペクトルは空でないこともわかります。

手順

空間と定義を確認する。スカラーは複素数、 $X$ はバナッハ空間とし、 $σ (T) = {λ \in C : T - λ I$ が有界な逆をもたない $}$ とする（行列なら固有値の集合）。
大まかな位置を押さえる。ノイマン級数により $σ (T) \subset {λ : ∣ λ ∣ \leq ∥ T ∥}$ である。
$T^{n}$ を具体的に求め、作用素ノルム $∥ T^{n} ∥$ を計算する。積分作用素なら、 $T^{n}$ の核を帰納法で求める。
$r (T) = lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を計算する。極限が求めにくいときは、各 $n$ で成り立つ $r (T) \leq ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を使って上から評価する。
スペクトルそのものを決める。 $σ (T)$ は半径 $r (T)$ の閉円板に含まれ、 $X \neq = {0}$ なら空でない。そのうえで、個々の $λ$ について $T - λ I$ の単射性・全射性を調べる。

例題

$X = C [0, 1]$ （複素数値連続関数の空間、ノルムは $∥ f ∥ = max_{0 \leq x \leq 1} ∣ f (x) ∣$ ）上の作用素 $(V f) (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ のスペクトル半径 $r (V)$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $X$ は複素バナッハ空間であり、 $V$ は線形で、次の評価から有界である。

【手順2】 $∣ (V f) (x) ∣ \leq x ∥ f ∥ \leq ∥ f ∥$ より $∥ V ∥ \leq 1$ である。よって $σ (V) \subset {∣ λ ∣ \leq 1}$ となる。

【手順3】 $n$ についての帰納法で
$(V^{n} f) (x) = \int_{0}^{x} \frac{( x - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f (t) d t$
を示す。 $n = 1$ のときは定義そのものである。 $n$ で成り立つとすると、被積分関数は連続なので積分の順序を交換できて
$(V^{n + 1} f) (x) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{s} \frac{( s - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f (t) d t d s = \int_{0}^{x} f (t) \int_{t}^{x} \frac{( s - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} d s d t = \int_{0}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f (t) d t$
となる。この表示から $∣ (V^{n} f) (x) ∣ \leq ∥ f ∥ \frac{x ^{n}}{n !} \leq \frac{∥ f ∥}{n !}$ である。一方、 $f \equiv 1$ （ノルム 1）のとき $(V^{n} 1) (1) = \frac{1}{n !}$ となって上界に達する。よって $∥ V^{n} ∥ = \frac{1}{n !}$ である。

【手順4】 $n!$ の因数 $1, 2, \dots, n$ のうち $n /2$ 以上のものは少なくとも $n /2$ 個あるので、 $n! \geq (n /2)^{n /2}$ である。よって
$0 \leq ∥ V^{n} ∥^{1/ n} = (\frac{1}{n !})^{1/ n} \leq \frac{2}{n} \to 0 (n \to \infty)$
となり、 $r (V) = lim ∥ V^{n} ∥^{1/ n} = 0$ である。

【手順5】（確認）手順4から $σ (V) \subset {0}$ である。また $(V f) (0) = 0$ なので、定数関数 $1$ は $V$ の像に入らず、 $V$ は全射でない。よって $0 \in σ (V)$ となり、 $σ (V) = {0}$ である。これは $r (V) = 0$ と矛盾しない。

答え： $r (V) = 0$

答え: $0$

よくある誤り

$r (T) = ∥ T ∥$ としてしまう誤り。正しくは $r (T) \leq ∥ T ∥$ であり、一般に等号は成り立たない。例えば $A = (0010)$ では（ユークリッドノルムに関する作用素ノルムで） $∥ A ∥ = 1$ だが、 $A^{2} = O$ より $r (A) = 0$ である。
$∥ T^{n} ∥ = ∥ T ∥^{n}$ と考えて、公式が自明だと思ってしまう誤り。正しくは $∥ T^{n} ∥ \leq ∥ T ∥^{n}$ しか成り立たない。上の例題でも $∥ V ∥ = 1$ だが、 $∥ V^{n} ∥ = 1/ n!$ は $1^{n} = 1$ よりはるかに小さい。
無限次元でもスペクトルは固有値だけだと考えてしまう誤り。正しくは、 $T - λ I$ が単射でも全射でなければ $λ \in σ (T)$ である。例題の $V$ には固有値がない。実際、 $V f = λ f$ とすると、 $λ = 0$ なら微分して $f = 0$ となる。 $λ \neq = 0$ なら $f = V f / λ$ は微分可能で $f^{'} = f / λ$ 、 $f (0) = 0$ だから $f = 0$ となる。それでも $σ (V) = {0}$ である。
スカラーを実数に限ってスペクトルを求めてしまう誤り。正しくは複素数で考える。例えば $A = (01 - 1 0)$ には実固有値がないが、 $det (A - λ E) = λ^{2} + 1$ より $σ (A) = {i, - i}$ である。 $A^{n}$ は回転行列なので $∥ A^{n} ∥ = 1$ となり、 $r (A) = 1 = lim ∥ A^{n} ∥^{1/ n}$ と一致する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コンパクト作用素と積分作用素の固有値（大学院数学関数解析）