この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

関数解析の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学関数解析

複素ヒルベルト空間 $ℓ^{2} = {x = (x_{n})_{n \geq 1} : x_{n} \in C, \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ x_{n} ∣^{2} < \infty}$ （通常の内積をもつ）上の作用素 $T$ を
$(T x)_{1} = 0, (T x)_{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 )}{n} x_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。 $T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $∥ T^{3} ∥$ と $T$ のスペクトル半径 $r (T)$ をこの順に組で求めよ。

この問題で使うもの

有界線形作用素と作用素ノルム（説明と入口の問題）
スペクトルとスペクトル半径（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$T$ は重み付きシフトである。標準基底 $e_{k}$ が $T^{m}$ でどこに移るかを調べ、像が互いに直交することを使ってノルムを求めよう。

ヒント 2

$T^{m} e_{k} = (\prod_{j = k}^{k + m - 1} w_{j}) e_{k + m}$ で、 $∥ T^{m} ∥$ はこの係数の $k$ に関する上限になる。スペクトル半径にはゲルファントの公式 $r (T) = lim ∥ T^{m} ∥^{1/ m}$ を使う。

ヒント 3

重みの積は $\prod_{j = k}^{k + m - 1} \frac{2 ( j + 1 )}{j} = 2^{m} \frac{k + m}{k}$ と打ち消し合う。これを $k$ について最大化し、 $m$ 乗根の極限をとる。

答えと解説

答えを見る

(32, 2)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$w_{n} = \frac{2 ( n + 1 )}{n}$ とおき、 $e_{k}$ を $k$ 番目の成分だけが $1$ の標準基底ベクトルとする。定義から $T e_{k} = w_{k} e_{k + 1}$ である。 $w_{n} \leq w_{1} = 4$ なので $∥ T x ∥^{2} = \sum_{n} w_{n}^{2} ∣ x_{n} ∣^{2} \leq 16∥ x ∥^{2}$ となり $T$ は有界である。

$T^{m}$ のノルム. $m \geq 1$ に対して
$T^{m} e_{k} = (j = k \prod k + m - 1 w_{j}) e_{k + m} =: c_{k}^{(m)} e_{k + m}$
である。 $x = \sum_{k} x_{k} e_{k}$ に対し $T^{m} x = \sum_{k} c_{k}^{(m)} x_{k} e_{k + m}$ で、 $e_{k + m}$ たちは正規直交なので
$∥ T^{m} x ∥^{2} = k \sum ∣ c_{k}^{(m)} ∣^{2} ∣ x_{k} ∣^{2} \leq (k sup c_{k}^{(m)})^{2} ∥ x ∥^{2} .$
また $x = e_{k}$ とすれば $∥ T^{m} e_{k} ∥ = c_{k}^{(m)}$ なので、 $∥ T^{m} ∥ = sup_{k} c_{k}^{(m)}$ である。積は打ち消し合って
$c_{k}^{(m)} = 2^{m} \cdot \frac{k + 1}{k} \cdot \frac{k + 2}{k + 1} \dots \frac{k + m}{k + m - 1} = 2^{m} \cdot \frac{k + m}{k} = 2^{m} (1 + \frac{m}{k}) .$
これは $k$ について減少するので、上限は $k = 1$ で達成され
$∥ T^{m} ∥ = 2^{m} (m + 1) .$
特に $∥ T^{3} ∥ = 8 \cdot 4 = 32$ である。

スペクトル半径. ゲルファントのスペクトル半径公式 $r (T) = lim_{m \to \infty} ∥ T^{m} ∥^{1/ m}$ （バナッハ空間上の有界線形作用素で成り立つ）より
$r (T) = m \to \infty lim 2 (m + 1)^{1/ m} = 2,$
ここで $lo g (m + 1)^{1/ m} = \frac{lo g ( m + 1 )}{m} \to 0$ を用いた。

よって $(∥ T^{3} ∥, r (T)) = (32, 2)$ である。（なお $∥ T ∥ = 4$ で、 $r (T) < ∥ T ∥$ となっている。）

別解

標準基底 $e_{n}$ に対し $(T x)_{n + 1} = w_{n} x_{n}$ （ $w_{n} = \frac{2 ( n + 1 )}{n}$ ）より $T e_{n} = w_{n} e_{n + 1}$ 、すなわち $T$ は重み $w_{n}$ の重み付き片側シフトである。 $w_{n} \leq 4$ で有界。

$T^{k} e_{n} = w_{n} w_{n + 1} \dots w_{n + k - 1} e_{n + k}$ であり、 $T^{k}$ は $e_{n}$ を互いに直交する $e_{n + k}$ に写すので $∥ T^{k} ∥ = sup_{n} \prod_{j = 0}^{k - 1} w_{n + j}$ 。

積は望遠鏡的に計算できる: $\prod_{j = 0}^{k - 1} \frac{2 ( n + j + 1 )}{n + j} = 2^{k} \cdot \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) \dots ( n + k )}{n ( n + 1 ) \dots ( n + k - 1 )} = 2^{k} \cdot \frac{n + k}{n}$ 。

$k = 3$ : $\frac{8 ( n + 3 )}{n} = 8 (1 + \frac{3}{n})$ は $n$ について単調減少なので $n = 1$ で最大、 $∥ T^{3} ∥ = 8 \cdot 4 = 32$ 。

一般に $∥ T^{k} ∥ = 2^{k} (1 + k)$ （ $n = 1$ で最大）。よって $r (T) = lim_{k \to \infty} ∥ T^{k} ∥^{1/ k} = lim 2 (1 + k)^{1/ k} = 2$ 。

検算: $T^{3} e_{1}$ の係数は $w_{1} w_{2} w_{3} = 4 \cdot 3 \cdot \frac{8}{3} = 32$ 。確かに一致。また $r (T) \leq ∥ T^{3} ∥^{1/3} = 3 2^{1/3} \approx 3.17$ と矛盾しない。

関数解析の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題