有界線形作用素と作用素ノルム

実数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\max \{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}$（$x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\top }$）を入れる。行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ -2& 1& 5\end{array}\right)$$
の定める線形作用素 $A:({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })\to ({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ の作用素ノルム
$$\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_{\infty }}{\Vert x{\Vert }_{\infty }}$$
を求めよ。

実ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$ に $1$ ノルム
$$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|+|x_3|(x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^3)$$
を入れる。行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 1& -1\\ 0& 4& 2\end{array}\right)$$
の定める線形作用素 $A:({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_1)\to ({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_1)$, $x\mapsto Ax$ の作用素ノルム
$$\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_1}$$
を求めよ。

有界な複素数列 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}$ 全体のなす複素バナッハ空間 ${\ell }^{\infty }$ を、ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{k\ge 1}|x_k|$ で考える。作用素 $T:{\ell }^{\infty }\to {\ell }^{\infty }$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=\frac{3(k+1)}{k}{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める（重み $w_k=\frac{3(k+1)}{k}$ 付きの右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の重み付き右シフト作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=w_k{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める。ここで重みは
$$w_k=\{\begin{array}{ll}4& (k\text{ が奇数}),\\ 1& (k\text{ が偶数})\end{array}$$
とする。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)=(x^2-x)f(x)(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I\text{が有界な逆作用素をもたない}\}$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ を求めよ。

複素バナッハ空間
$${\ell }^1=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},\sum _{n=1}^{\infty }|x_n|<\infty \right\}$$
を、ノルム $\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n|$ で考える。正の実数列 $(w_n{)}_{n\ge 1}$ を
$$w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ 9& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定め、作用素 $T:{\ell }^1\to {\ell }^1$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1)$$
で定める（重み付き右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $\Vert T^3\Vert$ と $T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T^3\Vert ,r(T))$ として求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2(\mathbb{Z})$（${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}|x_n{|}^2<\infty$ を満たす複素数列 $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 全体）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_n=x_{n-1}+x_{n+1}+\frac{1}{2}\left(x_{n-2}+x_{n+2}\right)(n\in \mathbb{Z})$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ に、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(3x^2-1)f(x)dx-2f\left(\frac{1}{2}\right)(f\in C([0,1]))$$
で定める（積分はリーマン積分）。$\phi$ は有界であり、双対空間 $C([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n\ge 1}|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1),w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ \frac{1}{9}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ の形でこの順に求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（通常の内積をもつ）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}{x}_n(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $\Vert T^3\Vert$ と $T$ のスペクトル半径 $r(T)$ をこの順に組で求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の複素数値連続関数全体のなす複素バナッハ空間 $C([0,1])$ を考え、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。作用素 $T:C([0,1])\to C([0,1])$ を
$$(Tf)(x)=(1+3x)f(1-x)(f\in C([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ として求めよ。

次数が $3$ 以下の実係数多項式全体のなす実ベクトル空間を ${\mathcal{P}}_3$ とし、上限ノルム
$$\Vert p\Vert =\underset{-1\le x\le 1}{\max }|p(x)|(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
を入れて実ノルム空間とみなす。線形汎関数 $\phi :{\mathcal{P}}_3\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (p)=p(2)(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
で定める。$\phi$ の双対空間 ${\mathcal{P}}_3^{\ast }$ における作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\underset{p\in {\mathcal{P}}_3,\Vert p\Vert \le 1}{\sup }|\phi (p)|$$
の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（添字は $n=1,2,3,\dots$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_n=a_n{x}_{n-1}(n\ge 2),a_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が偶数})\\ 1& (n\text{ が奇数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ で求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する複素バナッハ空間 $L^3((0,1))$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$ で考える。作用素 $H$ を
$$(Hf)(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(y)dy(f\in L^3((0,1)),0<x<1)$$
で定める。$H$ は $L^3((0,1))$ 上の有界線形作用素である。$H$ のスペクトル半径 $r(H)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (H)\}$ を求めよ。ここで $\sigma (H)$ は $H$ のスペクトルである。

$H$ を $\{0\}$ でない複素ヒルベルト空間とし、$B(H)$ を $H$ 上の有界線形作用素全体、$\Vert \cdot \Vert$ を作用素ノルム、$T^{\ast }$ を $T$ の共役作用素とする。$T\in B(H)$ が $T^2=0$ を満たすとき、
$$\Vert T+T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 任意の $T\in B(H)$ に対し $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$。
- 自己共役作用素 $S\in B(H)$ に対し $\Vert S^2\Vert =\Vert S{\Vert }^2$。
- $A\in B(H)$ に対し $\ker A^{\ast }=(\mathrm{ran}A{)}^{\perp }$。