関数解析の問題

実数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\max \{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}$（$x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\top }$）を入れる。行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ -2& 1& 5\end{array}\right)$$
の定める線形作用素 $A:({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })\to ({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ の作用素ノルム
$$\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_{\infty }}{\Vert x{\Vert }_{\infty }}$$
を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の重み付き右シフト作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=w_k{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める。ここで重みは
$$w_k=\{\begin{array}{ll}4& (k\text{ が奇数}),\\ 1& (k\text{ が偶数})\end{array}$$
とする。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

複素バナッハ空間
$${\ell }^1=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},\sum _{n=1}^{\infty }|x_n|<\infty \right\}$$
を、ノルム $\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n|$ で考える。正の実数列 $(w_n{)}_{n\ge 1}$ を
$$w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ 9& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定め、作用素 $T:{\ell }^1\to {\ell }^1$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1)$$
で定める（重み付き右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $\Vert T^3\Vert$ と $T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T^3\Vert ,r(T))$ として求めよ。