ノルム空間とバナッハ空間

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなすノルム空間 $C[0,1]$ を考える。ノルムは上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
とする。関数 $f(x)=x-x^3$ に対して、$\Vert f{\Vert }_{\infty }$ の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の空間 $C[0,1]$ に、上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
を入れる。正の整数 $n$ に対して $f_n(x)=x^n-x^{2n}$ $(0\le x\le 1)$ と定めるとき、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

$C[0,1]$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間とし、ノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le t\le 1}|f(t)|$ で定める。汎関数 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}f(t)dt-2f\left(\frac{1}{2}\right)$$
で定める。$\phi$ は $C[0,1]$ 上の有界線形汎関数であり、その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
が $\Vert \phi \Vert =3$ を満たすことを証明せよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定める。次の事実（プランシュレルの定理）は用いてよい。

（事実）$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ 全体から $L^2(\mathbb{R})$ への線形写像に一意的に連続拡張される（拡張したものも $\hat{f}$ と書く）。この拡張は任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して $\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2=2\pi \Vert f{\Vert }_2^2$ を満たす。ここで $\Vert g{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^2\right)}^{1/2}$ である。

$f\in L^2(\mathbb{R})$ と実数 $h$ に対して $f_h(x)=f(x+h)$ とおく。このとき、すべての $h\in \mathbb{R}$ について
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|e^{ih\xi }-1{|}^2|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$$
が成り立ち、特に $\underset{h\to 0}{\lim }\Vert f_h-f{\Vert }_2=0$ であることを証明せよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n\ge 1}|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1),w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ \frac{1}{9}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ の形でこの順に求めよ。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^1([0,1])$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx$ で考える。$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $M=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。$M$ は有限次元なので閉部分空間である。商空間 $L^1([0,1])/M$ に商ノルム
$$\Vert [f]\Vert =\underset{p\in M}{\inf }\Vert f-p{\Vert }_1$$
を入れる。$f(x)=x^3$ の同値類 $[f]$ について、商ノルム $\Vert [f]\Vert$ の値を求めよ。

次数が $3$ 以下の実係数多項式全体のなす実ベクトル空間を ${\mathcal{P}}_3$ とし、上限ノルム
$$\Vert p\Vert =\underset{-1\le x\le 1}{\max }|p(x)|(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
を入れて実ノルム空間とみなす。線形汎関数 $\phi :{\mathcal{P}}_3\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (p)=p(2)(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
で定める。$\phi$ の双対空間 ${\mathcal{P}}_3^{\ast }$ における作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\underset{p\in {\mathcal{P}}_3,\Vert p\Vert \le 1}{\sup }|\phi (p)|$$
の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する複素バナッハ空間 $L^3((0,1))$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$ で考える。作用素 $H$ を
$$(Hf)(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(y)dy(f\in L^3((0,1)),0<x<1)$$
で定める。$H$ は $L^3((0,1))$ 上の有界線形作用素である。$H$ のスペクトル半径 $r(H)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (H)\}$ を求めよ。ここで $\sigma (H)$ は $H$ のスペクトルである。