関数解析の問題

$f\in L^3((0,1))\subset L^1((0,1))$ なので ${\int }_0^{x}f(y)dy$ は各 $x$ で定まる。

上からの評価: $\Vert H\Vert \le \frac{3}{2}$. 置換 $y=xt$ により
$$(Hf)(x)={\int }_0^{1}f(xt)dt.$$
ミンコフスキーの積分不等式より
$$\Vert Hf{\Vert }_3\le {\int }_0^1({\int }_0^1|f(xt){|}^{3}dx{)}^{1/3}dt.$$
内側は $u=xt$ と置換して
$${\int }_0^1|f(xt){|}^{3}dx=\frac{1}{t}{\int }_0^t|f(u){|}^{3}du\le \frac{1}{t}\Vert f{\Vert }_3^3.$$
よって
$$\Vert Hf{\Vert }_3\le \Vert f{\Vert }_3{\int }_0^1{t}^{-1/3}dt=\Vert f{\Vert }_3[\frac{3}{2}{t}^{2/3}{]}_0^1=\frac{3}{2}\Vert f{\Vert }_3,$$
すなわち $\Vert H\Vert \le \frac{3}{2}$（ハーディの不等式）。一般に $r(H)={\lim }_{n\to \infty }\Vert H^n{\Vert }^{1/n}\le \Vert H\Vert$ なので
$$r(H)\le \frac{3}{2}.$$

下からの評価: 固有値を作る. 実数 $\alpha$ に対し $f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }$ とおく。
$$\Vert f_{\alpha }{\Vert }_3^3={\int }_0^1{x}^{3\alpha }dx<\infty ⟺3\alpha >-1⟺\alpha >-\frac{1}{3}.$$
$\alpha >-\frac{1}{3}$（このとき $\alpha +1>0$）なら
$$(H{f}_{\alpha })(x)=\frac{1}{x}\cdot \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{1}{\alpha +1}{f}_{\alpha }(x)$$
なので、${\lambda }_{\alpha }=\frac{1}{\alpha +1}$ は $H$ の固有値であり、${\lambda }_{\alpha }\in \sigma (H)$。したがって
$$r(H)\ge \underset{\alpha >-1/3}{\sup }\frac{1}{\alpha +1}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$
（$\alpha \to -\frac{1}{3}+0$ で ${\lambda }_{\alpha }\to \frac{3}{2}$。スペクトルは閉集合なので $\frac{3}{2}\in \sigma (H)$ でもある）。

以上より $r(H)=\frac{3}{2}$。（同時に $\Vert H\Vert =\frac{3}{2}$ も分かる。複素数 $\alpha$ で $\mathrm{Re}\alpha >-\frac{1}{3}$ とすれば、$\sigma (H)$ が円板 $|\lambda -\frac{3}{4}|<\frac{3}{4}$ を含むことも分かる。）

$p=3$、共役指数を $q=\frac{p}{p-1}=\frac{3}{2}$ とする。

(上からの評価) ハーディの不等式より $\Vert H\Vert =q=\frac{3}{2}$。よって $r(H)\le \Vert H\Vert =\frac{3}{2}$。

(固有値) $f_{\alpha }(x)=x^{\alpha }$ に対し $H{f}_{\alpha }(x)=\frac{1}{x}\cdot \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha }$（$\mathrm{Re}\alpha >-1$）。$f_{\alpha }\in L^3(0,1)$ となる条件は $3\mathrm{Re}\alpha >-1$、すなわち $\mathrm{Re}\alpha >-\frac{1}{3}$。このとき $f_{\alpha }$ は固有値 $\lambda =\frac{1}{\alpha +1}$ の固有関数。$\mathrm{Re}(\alpha +1)>\frac{2}{3}$ より $\mathrm{Re}\frac{1}{\lambda }>\frac{2}{3}=\frac{1}{q}$。

$\mathrm{Re}(1/\lambda )>1/q$ を $\lambda =\mu$ で書き直すと、$\mathrm{Re}(1/\lambda )=\mathrm{Re}\lambda /|\lambda {|}^2>1/q⟺|\lambda {|}^2<q\mathrm{Re}\lambda ⟺|\lambda -\frac{q}{2}|<\frac{q}{2}$。よって開円板 $\{|\lambda -\frac{3}{4}|<\frac{3}{4}\}$ は点スペクトルに含まれる。

スペクトルは閉集合なので閉円板 $\{|\lambda -\frac{3}{4}|\le \frac{3}{4}\}$ を含む。この円板上での $|\lambda |$ の最大は $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$（$\lambda =\frac{3}{2}$ で達成）。したがって $r(H)\ge \frac{3}{2}$。

上下の評価を合わせて $r(H)=\frac{3}{2}$。

検算: $\lambda$ が $\frac{3}{2}$ に近づくと $\alpha +1=1/\lambda \to \frac{2}{3}$、$\alpha \to -\frac{1}{3}$ で、ちょうど $L^3$ の境界に対応しており整合的。