関数解析

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなすノルム空間 $C[0,1]$ を考える。ノルムは上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
とする。関数 $f(x)=x-x^3$ に対して、$\Vert f{\Vert }_{\infty }$ の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体の空間 $C[0,1]$ に、上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
を入れる。正の整数 $n$ に対して $f_n(x)=x^n-x^{2n}$ $(0\le x\le 1)$ と定めるとき、$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$$ で考える。部分空間 $$M=\left\{g\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xg(x)dx=0\right\}$$ をとり、定数関数 $f(x)=1$ とする。$f$ と $M$ との距離 $$d=\underset{g\in M}{\inf }\Vert f-g\Vert$$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を考える。内積はルベーグ測度に関して $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で定める。関数族
$$e_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)(n=1,2,3,\dots )$$
は $L^2([0,1])$ の正規直交基底であることが知られている。$f(x)=x(1-x)$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n{⟩}^2$$
の値を求めよ。

実数ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$ に最大値ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }=\max \{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}$（$x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\top }$）を入れる。行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ -2& 1& 5\end{array}\right)$$
の定める線形作用素 $A:({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })\to ({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$ の作用素ノルム
$$\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_{\infty }}{\Vert x{\Vert }_{\infty }}$$
を求めよ。

実ベクトル空間 ${\mathbb{R}}^3$ に $1$ ノルム
$$\Vert x{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|+|x_3|(x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\top }\in {\mathbb{R}}^3)$$
を入れる。行列
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 1& -1\\ 0& 4& 2\end{array}\right)$$
の定める線形作用素 $A:({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_1)\to ({\mathbb{R}}^3,\Vert \cdot {\Vert }_1)$, $x\mapsto Ax$ の作用素ノルム
$$\Vert A\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_1}$$
を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

有界な複素数列 $x=(x_k{)}_{k\ge 1}$ 全体のなす複素バナッハ空間 ${\ell }^{\infty }$ を、ノルム $\Vert x{\Vert }_{\infty }={\sup }_{k\ge 1}|x_k|$ で考える。作用素 $T:{\ell }^{\infty }\to {\ell }^{\infty }$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=\frac{3(k+1)}{k}{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める（重み $w_k=\frac{3(k+1)}{k}$ 付きの右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の重み付き右シフト作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{k+1}=w_k{x}_k(k=1,2,3,\dots )$$
で定める。ここで重みは
$$w_k=\{\begin{array}{ll}4& (k\text{ が奇数}),\\ 1& (k\text{ が偶数})\end{array}$$
とする。$T$ は有界線形作用素である。$T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1+xy)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1+xy)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

複素ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$）において、作用素 $L$ を次で定める。
$$Lu=-u^{\prime \prime },D(L)=\{u\in H^2(0,\pi ):u^{\prime }(0)=0,u(\pi )=0\}.$$
$L$ は自己共役作用素であり、その固有関数全体は $L^2([0,\pi ])$ の完全正規直交系をなす。関数
$$f(x)=3\cos \frac{x}{2}+5\cos \frac{3x}{2}$$
に対して、方程式 $Lu-u=f$ の解 $u\in D(L)$ はただ 1 つ存在する。$L$ の固有関数展開を用いてこの解 $u$ を求め、値 $u\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2(0,\pi )$ に内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$ を入れる。作用素 $A$ を
$$Au=-u^{\prime \prime },D(A)=\{u\in H^2(0,\pi )\mid u(0)=u(\pi )=0\}$$
で定める。$A$ は自己共役作用素である。$u\in D(A)$ を境界値問題
$$-u^{\prime \prime }(x)=1(0<x<\pi ),u(0)=u(\pi )=0$$
の解とする。$A$ の固有関数による展開を用いて $⟨u,1⟩$ を級数で表し、$u$ を直接求めて計算した $⟨u,1⟩$ の値と比べることで、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)=(x^2-x)f(x)(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I\text{が有界な逆作用素をもたない}\}$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ において、$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $V=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。関数 $f(x)=x^3$ と $V$ との距離の $2$ 乗
$$D=\underset{a,b\in \mathbb{R}}{\min }{\int }_0^1{\left(x^3-a-bx\right)}^{2}dx$$
を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$）を考える。実数 $a,b$ を動かすとき、
$${\int }_0^1{\left(\sqrt{x}-a-bx\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^3([0,1])$（ノルムは $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$）上の線形汎関数 $\phi$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}xf(x)dx(f\in L^3([0,1]))$$
で定める。$\phi$ は有界であり、双対空間 $L^3([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in L^3([0,1]),\Vert f{\Vert }_3\le 1\}$$
の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,y))f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。複素数 $\lambda$ が $T$ の固有値であるとは、$f\ne 0$ である $f\in L^2([0,1])$ で $Tf=\lambda f$ を満たすものが存在することとする。$T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きい実数であるものをすべて求めよ。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

$C[0,1]$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間とし、ノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le t\le 1}|f(t)|$ で定める。汎関数 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}f(t)dt-2f\left(\frac{1}{2}\right)$$
で定める。$\phi$ は $C[0,1]$ 上の有界線形汎関数であり、その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
が $\Vert \phi \Vert =3$ を満たすことを証明せよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きいものの個数を、重複度（固有空間の次元）を込めて数えて求めよ。ただし、$\lambda \in \mathbb{C}$ が $T$ の固有値であるとは、$Tf=\lambda f$ を満たす $f\ne 0$（$L^2$ の元として）が存在することをいう。

複素バナッハ空間
$${\ell }^1=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},\sum _{n=1}^{\infty }|x_n|<\infty \right\}$$
を、ノルム $\Vert x{\Vert }_1={\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n|$ で考える。正の実数列 $(w_n{)}_{n\ge 1}$ を
$$w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ 9& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定め、作用素 $T:{\ell }^1\to {\ell }^1$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1)$$
で定める（重み付き右シフト）。$T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $\Vert T^3\Vert$ と $T$ のスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T^3\Vert ,r(T))$ として求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2(\mathbb{Z})$（${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}|x_n{|}^2<\infty$ を満たす複素数列 $x=(x_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ 全体）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_n=x_{n-1}+x_{n+1}+\frac{1}{2}\left(x_{n-2}+x_{n+2}\right)(n\in \mathbb{Z})$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)$ を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ に、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(3x^2-1)f(x)dx-2f\left(\frac{1}{2}\right)(f\in C([0,1]))$$
で定める（積分はリーマン積分）。$\phi$ は有界であり、双対空間 $C([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（ノルムは $\Vert x\Vert =({\sum }_{n\ge 1}|x_n{|}^2{)}^{1/2}$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=w_n{x}_n(n\ge 1),w_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数})\\ \frac{1}{9}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ の形でこの順に求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（通常の内積をもつ）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n}{x}_n(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。作用素ノルム $\Vert T^3\Vert$ と $T$ のスペクトル半径 $r(T)$ をこの順に組で求めよ。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^1([0,1])$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx$ で考える。$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $M=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。$M$ は有限次元なので閉部分空間である。商空間 $L^1([0,1])/M$ に商ノルム
$$\Vert [f]\Vert =\underset{p\in M}{\inf }\Vert f-p{\Vert }_1$$
を入れる。$f(x)=x^3$ の同値類 $[f]$ について、商ノルム $\Vert [f]\Vert$ の値を求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の複素数値連続関数全体のなす複素バナッハ空間 $C([0,1])$ を考え、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。作用素 $T:C([0,1])\to C([0,1])$ を
$$(Tf)(x)=(1+3x)f(1-x)(f\in C([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ として求めよ。

次数が $3$ 以下の実係数多項式全体のなす実ベクトル空間を ${\mathcal{P}}_3$ とし、上限ノルム
$$\Vert p\Vert =\underset{-1\le x\le 1}{\max }|p(x)|(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
を入れて実ノルム空間とみなす。線形汎関数 $\phi :{\mathcal{P}}_3\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (p)=p(2)(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
で定める。$\phi$ の双対空間 ${\mathcal{P}}_3^{\ast }$ における作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\underset{p\in {\mathcal{P}}_3,\Vert p\Vert \le 1}{\sup }|\phi (p)|$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^2\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度（固有空間の次元）の分だけ繰り返して並べたものを ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3\ge \cdots$ とする。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とし、$dA$ を $\mathbb{C}\cong {\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度とする。$\mathbb{D}$ 上の正則関数 $f$ で
$$\Vert f{\Vert }^2=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|f(z){|}^{2}dA(z)<\infty$$
をみたすもの全体を $A^2(\mathbb{D})$ とする（ベルグマン空間）。これは内積 $⟨f,g⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}f(z)\overline{g(z)}dA(z)$ により複素ヒルベルト空間になる。
部分空間
$$M=\left\{f\in A^2(\mathbb{D}):f\left(\frac{1}{2}\right)=0,f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=0\right\}$$
を考え、$g(z)=z$ とする。$g$ と $M$ との距離
$$\mathrm{dist}(g,M)=\underset{f\in M}{\inf }\Vert g-f\Vert$$
を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{x}f(y)dy-2{\int }_x^{1}f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ のスペクトル半径
$$r(T)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}$$
を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2\pi ])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{2\pi }|x-y|(2\pi -|x-y|)f(y)dy(f\in L^2([0,2\pi ]),x\in [0,2\pi ])$$
で定める。$T$ は有界な自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma (T)$ は $\mathbb{R}$ のコンパクト部分集合である。$\sigma (T)$ の最小値と最大値を、この順に組で求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$（添字は $n=1,2,3,\dots$）上の作用素 $T$ を
$$(Tx{)}_1=0,(Tx{)}_n=a_n{x}_{n-1}(n\ge 2),a_n=\{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が偶数})\\ 1& (n\text{ が奇数})\end{array}$$
で定める。$T$ は有界線形作用素である。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ とスペクトル半径 $r(T)$ を、この順に組 $(\Vert T\Vert ,r(T))$ で求めよ。

実ソボレフ空間 $H^1(0,1)$ を、$f\in L^2(0,1)$ でその弱導関数 $f^{\prime }$ も $L^2(0,1)$ に属するもの全体とし（各 $f$ は $[0,1]$ 上の絶対連続な代表元と同一視する）、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^1(f(x)g(x)+f^{\prime }(x)g^{\prime }(x))dx$$
によって実ヒルベルト空間とみなす。閉部分空間
$$M=\{f\in H^1(0,1):f(0)=f(1)=0\}$$
と関数 $g(x)=1+x^2$ に対し、$g$ と $M$ との距離の 2 乗
$$d^2=\underset{f\in M}{\inf }\Vert g-f{\Vert }^2=\underset{f\in M}{\inf }{\int }_0^1\left(\right(g(x)-f(x){)}^2+(g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x){)}^2)dx$$
を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底とし、答えは $e$ を用いて表せ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{\pi }(\pi -\max (x,y))f(y)dy(f\in L^2([0,\pi ]),x\in [0,\pi ])$$
で定める。ここで $\lambda \in \mathbb{C}$ が $T$ の固有値であるとは、$Tf=\lambda f$ を満たす $0$ でない $f\in L^2([0,\pi ])$ が存在することをいう。$T$ の固有値のうち、実数であって $\frac{1}{10}$ 以上であるものをすべて求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する複素バナッハ空間 $L^3((0,1))$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$ で考える。作用素 $H$ を
$$(Hf)(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(y)dy(f\in L^3((0,1)),0<x<1)$$
で定める。$H$ は $L^3((0,1))$ 上の有界線形作用素である。$H$ のスペクトル半径 $r(H)=\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (H)\}$ を求めよ。ここで $\sigma (H)$ は $H$ のスペクトルである。

$H$ を $\{0\}$ でない複素ヒルベルト空間とし、$B(H)$ を $H$ 上の有界線形作用素全体、$\Vert \cdot \Vert$ を作用素ノルム、$T^{\ast }$ を $T$ の共役作用素とする。$T\in B(H)$ が $T^2=0$ を満たすとき、
$$\Vert T+T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 任意の $T\in B(H)$ に対し $\Vert T^{\ast }T\Vert =\Vert T{T}^{\ast }\Vert =\Vert T{\Vert }^2$。
- 自己共役作用素 $S\in B(H)$ に対し $\Vert S^2\Vert =\Vert S{\Vert }^2$。
- $A\in B(H)$ に対し $\ker A^{\ast }=(\mathrm{ran}A{)}^{\perp }$。

$L^2(0,1)$ を区間 $(0,1)$ 上の複素数値 2 乗可積分関数（ほとんどいたるところ等しいものを同一視する）のなすヒルベルト空間とする。積分作用素 $K:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ を
$$(Kf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,t))f(t)dt(0<x<1)$$
で定める。$\lambda \in \mathbb{C}$ が $K$ の固有値であるとは、$Kf=\lambda f$ を満たす $f\in L^2(0,1)$, $f\ne 0$ が存在することをいう。このとき、$K$ の固有値全体の集合が
$$\left\{\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}|n=1,2,3,\dots \right\}$$
に一致することを証明せよ（特に $0$ は固有値でない）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- フビニの定理。
- $f\in L^1(0,1)$ に対し $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ は $[0,1]$ 上連続であり、すべての $x\in [0,1]$ で $F(x)=0$ ならば $f=0$（ほとんどいたるところ）である。
- 定数係数の 2 階線形常微分方程式 $u^{\prime \prime }+cu=0$（$c\in \mathbb{C}$）の $C^2$ 級の解は、初期値 $u(0),u^{\prime }(0)$ によって一意に定まる。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)dy,K(x,y)=\frac{1}{2}\min (x,y)(2-\max (x,y))(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度をこめて ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots$ と並べる（固有値はすべて正の実数であり、${\sum }_n{\lambda }_n<\infty$ となることが知られている）。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。