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関数解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学関数解析

複素ヒルベルト空間 $ℓ^{2} = {x = (x_{n})_{n \geq 1} : x_{n} \in C, \sum_{n = 1}^{\infty} ∣ x_{n} ∣^{2} < \infty}$ （ノルムは $∥ x ∥ = (\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ x_{n} ∣^{2})^{1/2}$ ）上の重み付き右シフト作用素 $T$ を
$(T x)_{1} = 0, (T x)_{k + 1} = w_{k} x_{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。ここで重みは
$w_{k} = {41 (k が奇数), (k が偶数)$
とする。 $T$ は有界線形作用素である。 $T$ のスペクトル半径 $r (T)$ を求めよ。

この問題で使うもの

スペクトルとスペクトル半径（説明と入口の問題）
有界線形作用素と作用素ノルム（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（80 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

スペクトル半径の公式 $r (T) = lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ を使います。まず $∥ T^{n} ∥$ を求めましょう。

ヒント 2

$T^{n}$ は第 $k$ 成分に $w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + n - 1}$ をかけて第 $k + n$ 成分へ移す作用素なので、 $∥ T^{n} ∥ = sup_{k} w_{k} \dots w_{k + n - 1}$ です（上からの評価と、標準基底 $e_{k}$ での値で確かめられます）。

ヒント 3

$n = 2 m$ なら連続する $2 m$ 個の重みの積はつねに $4^{m}$ 、 $n = 2 m + 1$ なら積の最大値は $4^{m + 1}$ です。それぞれの $n$ 乗根の極限を調べましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

スペクトル半径の公式（ゲルファントの公式）
$r (T) = n \to \infty lim ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$
を使う。そのために $∥ T^{n} ∥$ を求める。

手順 1： $T^{n}$ の形。 $T$ を $n$ 回かけると、第 $k$ 成分は第 $k + n$ 成分へ移り、その途中で重み $w_{k}, w_{k + 1}, \dots, w_{k + n - 1}$ が順にかかる。すなわち
$(T^{n} x)_{j} = 0 (j \leq n), (T^{n} x)_{k + n} = w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + n - 1} x_{k} (k \geq 1) .$

手順 2： $∥ T^{n} ∥$ の計算。 $c_{k} = w_{k} \dots w_{k + n - 1}$ とおき、 $M_{n} = sup_{k} c_{k}$ とすると
$∥ T^{n} x ∥^{2} = k = 1 \sum \infty c_{k}^{2} ∣ x_{k} ∣^{2} \leq M_{n}^{2} ∥ x ∥^{2}$
より $∥ T^{n} ∥ \leq M_{n}$ 。また標準基底 $e_{k}$ に対して $∥ T^{n} e_{k} ∥ = c_{k}$ なので $∥ T^{n} ∥ \geq c_{k}$ がすべての $k$ で成り立ち、 $∥ T^{n} ∥ = M_{n}$ である。

重みは $4, 1, 4, 1, \dots$ と交互に並ぶ。
- $n = 2 m$ のとき：連続する $2 m$ 個の重みには奇数番目と偶数番目がちょうど $m$ 個ずつ含まれるので、どの $k$ でも $c_{k} = 4^{m}$ 。よって $∥ T^{2 m} ∥ = 4^{m} = 2^{2 m}$ 。
- $n = 2 m + 1$ のとき： $k$ が奇数なら奇数番目が $m + 1$ 個含まれて $c_{k} = 4^{m + 1}$ 、 $k$ が偶数なら $c_{k} = 4^{m}$ 。よって $∥ T^{2 m + 1} ∥ = 4^{m + 1} = 2^{2 m + 2}$ 。

手順 3：極限。
$∥ T^{2 m} ∥^{1/ (2 m)} = 2, ∥ T^{2 m + 1} ∥^{1/ (2 m + 1)} = 2^{\frac{2 m + 2}{2 m + 1}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2 m + 1}} \to 2 (m \to \infty) .$
偶数番目・奇数番目の部分列がともに $2$ に収束するので $lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n} = 2$ 。

したがって $r (T) = 2$ である。なお $∥ T ∥ = max_{k} w_{k} = 4$ であり、スペクトル半径は作用素ノルムより真に小さくなっている。

別解

$T$ は重み付き右シフトで、標準基底 $e_{k}$ に対し $T e_{k} = w_{k} e_{k + 1}$ である。したがって $T^{n} e_{k} = w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + n - 1} e_{k + n}$ となる。

$T^{n}$ は各 $e_{k}$ を互いに直交する $e_{k + n}$ の定数倍に写すので、 $∥ T^{n} ∥ = sup_{k} ∣ w_{k} w_{k + 1} \dots w_{k + n - 1} ∣$ が成り立つ。

重みは $4, 1, 4, 1, \dots$ と交互に並ぶ。 $n = 2 m$ のとき、連続する $n$ 個の積は $k$ によらず $(4 \cdot 1)^{m} = 4^{m} = 2^{n}$ である。したがって $∥ T^{2 m} ∥ = 2^{2 m}$ となる。

$n = 2 m + 1$ のとき、 $∥ T^{n} ∥ = 4^{m + 1} = 2^{n + 1}$ である（ $k$ が奇数のときに最大）。

以上より $∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ は偶数 $n$ で $2$ 、奇数 $n$ で $2^{(n + 1) / n}$ となり、 $n \to \infty$ で $2$ に収束する。スペクトル半径の公式 $r (T) = lim_{n \to \infty} ∥ T^{n} ∥^{1/ n}$ より $r (T) = 2$ である。

検算：重みの幾何平均は $4 \cdot 1 = 2$ であり、 $r (T) = 2$ と一致する。

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