ルベーグ積分の計算

【定義と基本の性質】まず「集合の大きさ」を決めます。ルベーグ測度 $\mu$ は、区間にその長さを与えます（$\mu ([a,b])=\mu ((a,b])=b-a$）。互いに交わらない可算個の集合の和集合には、各集合の測度の和を与えます（可算加法性）。測度が定まる集合を可測集合といいます。区間・1 点・可算集合は可測集合です。可測集合の補集合や可算個の和集合・共通部分も可測集合です。$B\subset C$ がともに可測ならば $\mu (C)=\mu (B)+\mu (C\setminus B)\ge \mu (B)$ が成り立ちます。1 点の測度は $0$ なので、$[0,1]\cap \mathbb{Q}$ のような可算集合の測度は $0$ です。すべての実数 $t$ について $\{x:f(x)>t\}$ が可測になる関数 $f$ を、可測関数といいます。集合 $A$ 上で $1$、それ以外で $0$ をとる関数を $1_A$ と書きます。

互いに交わらない可測集合 $A_k$ と $c_k\ge 0$ を使って $\phi ={\sum }_{k=1}^m{c}_k{1}_{A_k}$ と表される関数を、単関数といいます。その積分を $\int \phi d\mu ={\sum }_k{c}_k\mu (A_k)$ と定めます（$0\cdot \infty =0$ とします）。これは高さ $c_k$、底の大きさ $\mu (A_k)$ の柱の体積の和です。2 つの単関数を足すときは、集合を $A_k\cap B_l$ に細かく分け直します。こうすると $\int (\phi +\psi )d\mu =\int \phi d\mu +\int \psi d\mu$ がわかります。また $\phi \le \psi$ ならば $\int \phi d\mu \le \int \psi d\mu$ です。

非負の可測関数 $f$ の積分は、$0\le \phi \le f$ をみたす単関数 $\phi$ の積分の上限として定めます。可測集合 $A$ 上の積分は ${\int }_{A}fd\mu =\int f{1}_{A}d\mu$ とします。具体的な近似として、${\phi }_N=\min \left(N,\lfloor 2^{N}f\rfloor /2^N\right)$ をとります。これは値域を $2^{-N}$ 刻みで切って下から近づける単関数で、${\phi }_N\le {\phi }_{N+1}\le f$ かつ ${\phi }_N\to f$ をみたします。

計算の要は単調収束定理です。これは「非負の可測関数の列が $0\le f_1\le f_2\le \cdots$ をみたし、測度 $0$ の集合を除いて $f$ に収束する（これを「ほとんど至るところ収束する」といいます）ならば、$\int fd\mu ={\lim }_{n\to \infty }\int f_{n}d\mu$（$\infty$ も可）」という定理です。

次の事実もよく使います。$f=g$ が測度 $0$ の可測集合 $Z$ の外で成り立つならば、$\int fd\mu =\int gd\mu$ です。理由を示します。$0\le \phi =\sum c_k{1}_{A_k}\le f$ をみたす任意の単関数に対して、$\psi =\phi 1_{\mathbb{R}\setminus Z}=\sum c_k{1}_{A_k\setminus Z}$ とおきます。$Z$ の外では $\psi =\phi \le f=g$ であり、$Z$ 上では $\psi =0\le g$ なので、$0\le \psi \le g$ です。さらに $\mu (A_k\cap Z)\le \mu (Z)=0$ より $\mu (A_k\setminus Z)=\mu (A_k)$ となるので、$\int \psi d\mu =\int \phi d\mu$ です。したがって $\int \phi d\mu \le \int gd\mu$ であり、上限をとると $\int fd\mu \le \int gd\mu$ が得られます。$f$ と $g$ を入れ替えれば逆向きの不等式も成り立ちます。

さらに、非負の $f,g$ では $\int (f+g)d\mu =\int fd\mu +\int gd\mu$ が成り立ちます。$f,g$ の近似 ${\phi }_N,{\psi }_N$ の和 ${\phi }_N+{\psi }_N$ は単関数の増加列で $f+g$ に収束するので、単調収束定理と単関数の加法性から従います。これを使うと、非負の $f$ と、互いに交わらない可測集合 $A_n$（和集合を $A$ とする）に対して、${\int }_{A}fd\mu ={\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}fd\mu$ が示せます。${\sum }_{n\le M}f{1}_{A_n}$ は $M$ について増加し、$f{1}_A$ に各点で収束するので、単調収束定理が使えるからです。

【広義積分との一致】$f$ が区間 $I$ 上で非負かつ連続であるとします。各 $N$ について、幅 $2^{-N}$ の区間 $J=[k/2^N,(k+1)/2^N)$ のうち、閉区間 $\overline{J}=[k/2^N,(k+1)/2^N]$ が $I\cap [-N,N]$ に含まれるもの（有限個）を考えます。そうした各 $J$ 上では ${\min }_{\overline{J}}f$ をとり、それ以外では $0$ をとる関数を $s_N$ とします。$s_N$ は単関数です。$N$ を増やすと、各 $J$ は 2 つに分かれ、小さい区間での最小値は元の区間での最小値以上になります。使える区間も増え、新しい区間での値は $0$ 以上です。したがって $s_N\le s_{N+1}\le f$ です。

$I$ の内部の点 $x$ では、$N$ が大きければ $x$ を含む $J$ が使える区間になり、その $\overline{J}$ は $x$ に縮みます。よって連続性から $s_N(x)\to f(x)$ です。ただし、$I$ に含まれる端点では収束するとは限りません。たとえば $I=[0,1]$ のとき、$x=1$ を含む区間 $[1,1+2^{-N})$ の閉区間は $I$ に入らないので、$s_N(1)=0$ のままです。しかし端点は高々 2 点で測度 $0$ なので、$s_N\to f$ はほとんど至るところで成り立ちます。したがって単調収束定理により ${\int }_{I}fd\mu ={\lim }_N\int s_{N}d\mu$ です。

この極限を広義積分 ${\int }_{I}fdx$ と比べます。
(i) $\int s_{N}d\mu =\sum {\min }_{\overline{J}}f\cdot 2^{-N}$ は下リーマン和なので、${\sum }_J{\int }_{\overline{J}}fdx$ 以下です。使った $\overline{J}$ はすべて $I$ 内のある有界閉区間に含まれ、$f\ge 0$ なので、この和は ${\int }_{I}fdx$ 以下です。
(ii) 逆に、$I$ の内部にある有界閉区間 $[a,b]$ を固定します。$[a,b]$ と $I$ の端点の間には正の距離があるので、$N$ が十分大きければ、$[a,b]$ に含まれる $\overline{J}$ はすべて使える区間になります。$a_N=\lceil 2^{N}a\rceil /2^N$、$b_N=\lfloor 2^{N}b\rfloor /2^N$ とおき、${\epsilon }_N=\sup \{|f(x)-f(y)|:x,y\in [a,b],|x-y|\le 2^{-N}\}$ とします。各 $\overline{J}$ 上では ${\int }_{\overline{J}}fdx-{\min }_{\overline{J}}f\cdot 2^{-N}\le {\epsilon }_N{2}^{-N}$ であり、$[a_N,b_N]$ に含まれる $\overline{J}$ は高々 $(b-a)2^N$ 個です。よって
$$\int s_{N}d\mu \ge {\int }_{a_N}^{b_N}fdx-(b-a){\epsilon }_N$$
が成り立ちます。有界閉区間上の連続関数は一様連続です（任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ があり、$|x-y|<\delta$ ならば $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ となる）。したがって ${\epsilon }_N\to 0$ です。また $a_N\to a$、$b_N\to b$ です。これらより ${\lim }_N\int s_{N}d\mu \ge {\int }_a^{b}fdx$ となります。広義積分は $a,b$ を $I$ の両端に近づけたときの極限なので、${\lim }_N\int s_{N}d\mu \ge {\int }_{I}fdx$ です。
(i) と (ii) から、ルベーグ積分と広義積分は一致します（値が $\infty$ の場合も含みます）。

【符号が変わる関数】符号が変わる $f$ は、$f^{+}=\max (f,0)$ と $f^{-}=\max (-f,0)$ に分けて、$\int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$ と定めます。$f^{+}$ と $f^{-}$ の積分がともに有限であること、つまり $\int |f|d\mu <\infty$ のとき、$f$ は可積分であるといいます。可積分なら、$f^{\pm }$ それぞれに上の可算加法性を使えます。2 つの級数はともに有限の値に収束するので、項ごとに差をとってよく、${\int }_{A}fd\mu ={\sum }_n{\int }_{A_n}fd\mu$ が成り立ちます。可積分でないときは、右辺の級数が収束しても、左辺は定義されないことがあります。