単調収束定理・優収束定理

区間 $(0,1]$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。関数 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ を、正の整数 $n$ に対して
$$f(x)=n\left(2^{-n}<x\le 2^{-n+1}\right)$$
で定める。ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1]}fd\lambda$$
の値を求めよ。

区間 $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度 $\lambda$ を考える。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\lfloor x\rfloor }& (x\text{が無理数のとき})\\ 1& (x\text{が有理数のとき})\end{array}$$
で定める。ルベーグ積分 $${\int }_{[0,\infty )}fd\lambda$$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を $\lambda$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\lfloor {\log }_3\frac{1}{x}\rfloor$$
で定めるとき、ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1)}fd\lambda$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}dx$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^1{x}^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}x{e}^{-3x}dx$$
とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$K_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^2\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)}{x^2(1+x^2)}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$L_n={\int }_0^{\infty }n\log \left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-2x}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$ の値を求めよ。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ をルベーグ可測関数で ${\int }_{\mathbb{R}}|f(t)|dt<\infty$ を満たすものとする（積分はルベーグ測度に関するもの）。このとき、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(nx)=0$$
が成り立つ（ただし $n$ は正の整数を動く）ことを証明せよ。

なお、次の事実は用いてよい。
- 正の整数 $n$ と非負可測関数 $g$ に対して $x\mapsto g(nx)$ は可測で、${\int }_{\mathbb{R}}g(nx)dx=\frac{1}{n}{\int }_{\mathbb{R}}g(t)dt$ が成り立つ（値 $\infty$ も許す）。$x\mapsto f(-x)$ も可測で $\int |f(-x)|dx=\int |f(t)|dt$ である。
- 単調収束定理（非負可測関数の級数の積分と和の交換を含む）。
- 非負可測関数 $h$ が ${\int }_{A}h<\infty$ を満たせば、$A$ 上ほとんどいたるところ $h<\infty$ である。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定める。次の事実（プランシュレルの定理）は用いてよい。

（事実）$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ 全体から $L^2(\mathbb{R})$ への線形写像に一意的に連続拡張される（拡張したものも $\hat{f}$ と書く）。この拡張は任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して $\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2=2\pi \Vert f{\Vert }_2^2$ を満たす。ここで $\Vert g{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^2\right)}^{1/2}$ である。

$f\in L^2(\mathbb{R})$ と実数 $h$ に対して $f_h(x)=f(x+h)$ とおく。このとき、すべての $h\in \mathbb{R}$ について
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|e^{ih\xi }-1{|}^2|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$$
が成り立ち、特に $\underset{h\to 0}{\lim }\Vert f_h-f{\Vert }_2=0$ であることを証明せよ。

$f:[0,1]\to \mathbb{R}$ を連続関数とする。正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}f\left(\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{x_1+x_2+\cdots +x_n}\right)d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく。ここで積分は $[0,1{]}^n$ 上のルベーグ積分であり、被積分関数は $x_1+\cdots +x_n=0$ となる 1 点（原点）では $f(0)$ と定めるものとする。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=f\left(\frac{2}{3}\right)$$
であることを証明せよ。

なお、大数の強法則（独立同分布で可積分な確率変数列の標本平均は期待値にほとんど確実に収束する）と、有界収束定理は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^3}{x^3}\left(\frac{x}{n}-\sin \frac{x}{n}\right)\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、
$$I_n={\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n{x}^2{e}^{x/3}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^n}dx$$ とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$B_n={\int }_0^{\pi /2}{x}^4{\cos }^{n}xdx$$
とおく（積分は区間 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{5/2}{B}_n$$
の値を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\log \left(1+n^x\right)}{\log n}\right)}^2\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの、$\log$ は自然対数）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

$(\Omega ,\mathcal{F},({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0},P)$ を通常の条件を満たすフィルター付き確率空間とし、$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ であり、すべての標本路が連続な $({\mathcal{F}}_t)$-標準ブラウン運動とする。定数 $\mu >0$, $a>0$ に対して $X_t=B_t-\mu t$ とおき、
$$\tau =\inf \{t\ge 0:X_t=a\}(\inf \varnothing =\infty )$$
と定める。次の事実は用いてよい。

• $\tau$ は $({\mathcal{F}}_t)$-停止時刻である。
• 連続な $({\mathcal{F}}_t)$-マルチンゲール $M$ と有界な停止時刻 $\sigma$ に対して $E[M_{\sigma }]=E[M_0]$（任意抽出定理）。
• $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{B_t}{t}=0$ a.s.

このとき
$$P\left(\underset{t\ge 0}{\sup }{X}_t\ge a\right)=P(\tau <\infty )=e^{-2\mu a}$$
であることを証明せよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を $B_0=0$ である 1 次元標準ブラウン運動とし（標本路は連続とする）、$0\le t\le 1$ に対して $Y_t=B_t-t{B}_1$ とおく。さらに
$$X={\int }_0^1{Y}_t^{2}dt$$
とおく。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$a_n=n{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x^2}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}$ であることが知られている。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(a_n-\frac{1}{2}\right)$$
の値を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{-n}\cos xdx$$ とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(I_n-\frac{1}{2}\right)$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{1}n\left(1-x^{1/n}\right)\frac{1+x}{1-x}dx$$ とおく（積分は区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$S_n=\sum _{k=-n}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+k}\right)e^{k^2/n},T_n=\sum _{k=-n}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n+k}\right)e^{k^2/n}$$
とおく。極限
$$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n{T}_n}{16^n{n}^2}$$
は存在して正の実数になる。$L$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。