フーリエ解析の問題

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定める。次の事実（プランシュレルの定理）は用いてよい。

（事実）$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ 全体から $L^2(\mathbb{R})$ への線形写像に一意的に連続拡張される（拡張したものも $\hat{f}$ と書く）。この拡張は任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して $\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2=2\pi \Vert f{\Vert }_2^2$ を満たす。ここで $\Vert g{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^2\right)}^{1/2}$ である。

$f\in L^2(\mathbb{R})$ と実数 $h$ に対して $f_h(x)=f(x+h)$ とおく。このとき、すべての $h\in \mathbb{R}$ について
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|e^{ih\xi }-1{|}^2|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$$
が成り立ち、特に $\underset{h\to 0}{\lim }\Vert f_h-f{\Vert }_2=0$ であることを証明せよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 上のフーリエ・プランシュレル変換に拡張する。このとき、$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ に対してパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。

$g(x)=\frac{1}{\cosh x}$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求め、パーセバルの等式を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x\cosh x}dx$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。答えは $\arctan$ と $e$ と $\pi$ を用いた閉じた形で表せ。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数とし、
$${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$$
を満たすとする。整数 $n$ に対して $f$ のフーリエ係数を $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$ で定める。

このとき、すべての実数 $x$ に対して
$$|f(x){|}^2\le \frac{\pi }{6}{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 周期 $2\pi$ の連続関数 $g$ とそのフーリエ係数 $d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ について、パーセバルの等式 $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|g(t){|}^{2}dt=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|d_n{|}^2$ が成り立つ。
- 周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数 $f$ について、すべての実数 $x$ で $f(x)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^M{c}_n{e}^{inx}$ が成り立つ。
- $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

$E(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ $(x\in \mathbb{R})$ とおき、$f\in L^1(\mathbb{R})$ に対して畳み込み
$$u(x)=(E\ast f)(x)={\int }_{\mathbb{R}}E(x-y)f(y)dy$$
を考える。$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ を試験関数の空間とし、局所可積分関数 $v$ は超関数 $⟨v,\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}v(x)\phi (x)dx$ と同一視する。超関数 $T$ の微分は $⟨T^{\prime },\phi ⟩=-⟨T,{\phi }^{\prime }⟩$ で定める（したがって $⟨T^{\prime \prime },\phi ⟩=⟨T,{\phi }^{\prime \prime }⟩$）。

このとき、$u(x)$ はほとんどすべての $x$ で絶対収束する積分として定まって $u\in L^1(\mathbb{R})$ となり、さらに超関数の意味で
$$-u^{\prime \prime }+u=f({\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})\text{ において})$$
が成り立つことを証明せよ。ルベーグ積分の基本定理（フビニ・トネリの定理など）は用いてよい。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。区間 $[-a,a]$ の定義関数を ${\chi }_a$（$|x|\le a$ で $1$、それ以外で $0$）とし、$h={\chi }_1\ast {\chi }_1$（畳み込み）とおく。$h$ と ${\chi }_{1/2}$ のフーリエ変換を求め、プランシュレルの等式（内積の形）を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x\sin \frac{x}{2}}{x^3}dx$$ の値を求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $\frac{1}{2}$ で補うものとする。