フーリエ解析の問題

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を $f(x)=|x|$, $g(x)=e^{-2|x|}$ で定め、その畳み込み
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x-y|e^{-2|y|}dy(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$f,g$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u(x)$ を $x$ の式で表せ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

区間 $[0,1]$ の指示関数を $\chi ={\chi }_{[0,1]}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $3$ 重の畳み込み
$$u=\chi \ast \chi \ast \chi ,(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=u^{\prime \prime }$ とする。$T$ はコンパクトな台をもつので、任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して $⟨T,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{\prime \prime }(x)dx$ が定まる。$\phi (x)=e^{2x}$ のとき、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数とし、
$${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$$
を満たすとする。整数 $n$ に対して $f$ のフーリエ係数を $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$ で定める。

このとき、すべての実数 $x$ に対して
$$|f(x){|}^2\le \frac{\pi }{6}{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 周期 $2\pi$ の連続関数 $g$ とそのフーリエ係数 $d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ について、パーセバルの等式 $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|g(t){|}^{2}dt=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|d_n{|}^2$ が成り立つ。
- 周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数 $f$ について、すべての実数 $x$ で $f(x)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^M{c}_n{e}^{inx}$ が成り立つ。
- $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。