フーリエ解析の問題

方針. $g$ はコンパクト台をもつので、緩増加超関数 $f$ との畳み込みが定まり、微分は畳み込みと可換である：$(f\ast g{)}^{(k)}=f^{(k)}\ast g$。したがって
$$T=\left[{\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}f\right]\ast g$$
となるので、まず $f$ に作用させた結果を求める。

$f^{\prime \prime }$ の計算. $x>0$ では $f=x{e}^{-x}$ なので $f^{\prime }=(1-x)e^{-x}$、$f^{\prime \prime }=(x-2)e^{-x}$ である。$x<0$ では $f=-x{e}^x$ なので $f^{\prime }=-(1+x)e^x$、$f^{\prime \prime }=-(x+2)e^x$ である。まとめると、$x\ne 0$ で古典的な $2$ 階導関数は $(|x|-2)e^{-|x|}$ である。$f$ は $x=0$ で連続なので、$f^{\prime }$ にデルタ関数は現れない（$f^{\prime }$ は局所可積分関数）。一方 $f^{\prime }(0+)=1$、$f^{\prime }(0-)=-1$ で、$f^{\prime }$ は $x=0$ で高さ $2$ の跳びをもつ。ゆえに超関数の意味で
$$f^{\prime \prime }=(|x|-2)e^{-|x|}+2\delta .$$
よって
$$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)f=2\delta +(|x|-2)e^{-|x|}-|x|e^{-|x|}=2\delta -2e^{-|x|}.$$

もう一度作用させる. $e^{-|x|}$ は連続で、$(e^{-|x|}{)}^{\prime }=-\mathrm{sgn}(x)e^{-|x|}$ は $x=0$ で左極限 $1$ から右極限 $-1$ へ高さ $-2$ の跳びをもつ。$x\ne 0$ での古典的な $2$ 階導関数は $e^{-|x|}$ なので、$(e^{-|x|}{)}^{\prime \prime }=e^{-|x|}-2\delta$ となり、$\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)e^{-|x|}=-2\delta$ である。また $\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)\delta ={\delta }^{\prime \prime }-\delta$ である。よって
$${\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}f=2({\delta }^{\prime \prime }-\delta )-2(-2\delta )=2{\delta }^{\prime \prime }+2\delta .$$

$T$ の決定. $\delta \ast g=g$、${\delta }^{\prime \prime }\ast g=g^{\prime \prime }$ なので
$$T=2g^{\prime \prime }+2g.$$

値の計算. $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ より ${\phi }^{\prime }(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}$ である。よって ${\phi }^{\prime }(0)=1$、${\phi }^{\prime }(1)=-e^{-1}$ となる。超関数の微分の定義から
$$⟨g^{\prime \prime },\phi ⟩=⟨g,{\phi }^{\prime \prime }⟩={\int }_0^1{\phi }^{\prime \prime }(x)dx={\phi }^{\prime }(1)-{\phi }^{\prime }(0)=-e^{-1}-1.$$
また
$$⟨g,\phi ⟩={\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx={\left[-\frac{1}{2}{e}^{-x^2}\right]}_0^1=\frac{1-e^{-1}}{2}.$$
したがって
$$⟨T,\phi ⟩=2(-e^{-1}-1)+2\cdot \frac{1-e^{-1}}{2}=-2-2e^{-1}+1-e^{-1}=-1-\frac{3}{e}.$$

畳み込みと微分は交換するので $T=((D^2-1{)}^{2}f)\ast g$ である。

1. $f$ の微分を計算する。$x>0$ では $f=x{e}^{-x}$ で、$f^{\prime \prime }-f=-2e^{-x}$ となる。$f$ は偶関数だから $x<0$ では $f^{\prime \prime }-f=-2e^x$ である。$f$ は連続で、$f^{\prime }(0+)=1$、$f^{\prime }(0-)=-1$ より $f^{\prime }$ は $0$ で 2 だけ跳ぶ。したがって超関数として $f^{\prime \prime }$ は $2\delta$ を含み、$(D^2-1)f=2\delta -2e^{-|x|}$ となる。

2. $h=e^{-|x|}$ について、$h^{\prime }$ の $0$ での跳びは $-2$ なので $h^{\prime \prime }=h-2\delta$、すなわち $(D^2-1)h=-2\delta$ である。

3. よって $(D^2-1{)}^{2}f=2(D^2-1)\delta -2(D^2-1)h=2{\delta }^{\prime \prime }-2\delta +4\delta =2{\delta }^{\prime \prime }+2\delta$ となる。

4. したがって $T=2g^{\prime \prime }+2g$ であり、
$⟨T,\phi ⟩=2{\int }_0^1({\phi }^{\prime \prime }+\phi )dx=2[{\phi }^{\prime }(1)-{\phi }^{\prime }(0)]+2{\int }_0^1\phi dx$。

5. $\phi =x{e}^{-x^2}$ に対して ${\phi }^{\prime }=(1-2x^2)e^{-x^2}$ なので、${\phi }^{\prime }(0)=1$、${\phi }^{\prime }(1)=-e^{-1}$ である。また ${\int }_0^{1}x{e}^{-x^2}dx=\frac{1-e^{-1}}{2}$ である。

6. 以上より $⟨T,\phi ⟩=2(-e^{-1}-1)+(1-e^{-1})=-1-3e^{-1}$。

検算: $\int g{\phi }^{\prime \prime }={\phi }^{\prime }(1)-{\phi }^{\prime }(0)$ は 5 の値と整合しており、2 倍して $\int g\phi$ の 2 倍を加えた結果が上の値になる。