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フーリエ解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学フーリエ解析

区間 $[- π, π]$ 上の関数 $f, g$ を
$f (x) = {01 (- π \leq x < 0) (0 \leq x \leq π), g (x) = x (π^{2} - x^{2})$
で定める。複素フーリエ係数を
$c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x, d_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} g (x) e^{- in x} d x (n \in Z)$
とし、内積型のパーセバルの等式
$\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x = n = - \infty \sum \infty c_{n} d_{n}$
を用いて、無限級数
$k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}}$
の和を求めよ。

この問題で使うもの

複素フーリエ級数と内積型のパーセバルの等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

内積型のパーセバルの等式 $\frac{1}{2 π} \int f g ˉ d x = \sum c_{n} d_{n}$ を使います。まず $f$ と $g$ の複素フーリエ係数 $c_{n}$ , $d_{n}$ をそれぞれ求めましょう。

ヒント 2

$f$ については $c_{n} = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{2 π in}$ （ $n \neq = 0$ ）となり、奇数の $n$ だけが残ります。 $g$ は奇関数なので $d_{n} = \frac{- i}{π} \int_{0}^{π} g (x) sin n x d x$ で、部分積分を 3 回使います。

ヒント 3

$d_{n} = \frac{6 i ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}$ となり、奇数の $n$ では $c_{n} d_{n} = \frac{6}{π n ^{4}}$ です。左辺 $\frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} (π^{2} x - x^{3}) d x$ を計算して両辺を比べましょう。

答えと解説

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\frac{π ^{4}}{96}

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解説を読む

1. $f$ の複素フーリエ係数

$n = 0$ のとき $c_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d x = \frac{1}{2}$ 。

$n \neq = 0$ のとき
$c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} e^{- in x} d x = \frac{1}{2 π} [\frac{e ^{- in x}}{- in}]_{0}^{π} = \frac{1 - e ^{- inπ}}{2 π in} = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{2 π in} .$
よって $n$ が偶数（ $n \neq = 0$ ）なら $c_{n} = 0$ 、 $n$ が奇数なら $c_{n} = \frac{1}{π in} = - \frac{i}{π n}$ 。

2. $g$ の複素フーリエ係数

$g$ は奇関数なので $d_{0} = 0$ で、 $n \neq = 0$ のとき $e^{- in x} = cos n x - i sin n x$ のうち $cos n x$ の部分の積分は $0$ になり
$d_{n} = \frac{- i}{2 π} \int_{- π}^{π} g (x) sin n x d x = \frac{- i}{π} \int_{0}^{π} (π^{2} x - x^{3}) sin n x d x .$
$h (x) = π^{2} x - x^{3}$ とおくと $h^{'} = π^{2} - 3 x^{2}$ , $h^{''} = - 6 x$ , $h^{'''} = - 6$ 。部分積分を繰り返すと
$\int h sin n x d x = - \frac{h cos n x}{n} + \frac{h ^{'} sin n x}{n ^{2}} + \frac{h ^{''} cos n x}{n ^{3}} - \frac{h ^{'''} sin n x}{n ^{4}} + C .$
$h (0) = h (π) = 0$ , $h^{''} (0) = 0$ , $h^{''} (π) = - 6 π$ , $sin 0 = sin nπ = 0$ , $cos nπ = (- 1)^{n}$ より
$\int_{0}^{π} h sin n x d x = \frac{- 6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} .$
したがって
$d_{n} = \frac{- i}{π} \cdot \frac{- 6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} = \frac{6 i ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} (n \neq = 0) .$

3. 左辺を計算する

$f, g$ は実数値なので $g = g$ で
$\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f g d x = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} (π^{2} x - x^{3}) d x = \frac{1}{2 π} (\frac{π ^{4}}{2} - \frac{π ^{4}}{4}) = \frac{π ^{3}}{8} .$

4. 右辺を計算する

$n = 0$ の項は $d_{0} = 0$ より $0$ 、 $n$ が $0$ でない偶数の項は $c_{n} = 0$ より $0$ 。 $n$ が奇数のときは $(- 1)^{n} = - 1$ なので $d_{n} = - \frac{6 i}{n ^{3}} = \frac{6 i}{n ^{3}}$ で
$c_{n} d_{n} = (- \frac{i}{π n}) \cdot \frac{6 i}{n ^{3}} = \frac{6}{π n ^{4}} .$
これは $n$ と $- n$ で同じ値なので
$n = - \infty \sum \infty c_{n} d_{n} = 2 k = 1 \sum \infty \frac{6}{π ( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{12}{π} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} .$

5. 等式から和を求める

$\frac{12}{π} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{3}}{8}$
より
$k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96} .$

別解

左辺: $\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f g d x = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} x (π^{2} - x^{2}) d x = \frac{1}{2 π} (\frac{π ^{4}}{2} - \frac{π ^{4}}{4}) = \frac{π ^{3}}{8}$ （ $g$ は実数値）。

$c_{n}$ : $c_{0} = \frac{1}{2}$ 。 $n \neq = 0$ では $c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} e^{- in x} d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{2 π in}$ 。よって $n$ が奇数なら $c_{n} = \frac{1}{iπ n} = - \frac{i}{π n}$ （ $n$ は負でもよい）、 $n \neq = 0$ が偶数なら $c_{n} = 0$ 。

$d_{n}$ : $g$ は奇関数なので $d_{0} = 0$ 、 $d_{n} = \frac{- i}{π} \int_{0}^{π} x (π^{2} - x^{2}) sin n x d x$ 。部分積分を 2 回行い（ $\int_{0}^{π} x sin n x d x = \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ , $\int_{0}^{π} x^{3} sin n x d x = \frac{( - 1 ) ^{n + 1} π ^{3}}{n} + \frac{6 π ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}}$ を用いる）、 $\int_{0}^{π} x (π^{2} - x^{2}) sin n x d x = \frac{6 π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{3}}$ （ $n \geq 1$ ）。ゆえに $n \geq 1$ で $d_{n} = - \frac{6 i ( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{3}}$ 、 $d_{- n} = d_{n}$ 。

右辺: $n = 0$ の項は $d_{0} = 0$ で 0。 $n \geq 1$ の奇数 $n$ について、 $c_{n} d_{n} = (- \frac{i}{π n}) (\frac{6 i}{n ^{3}}) = \frac{6}{π n ^{4}}$ 。 $- n$ については $c_{- n} d_{- n} = (\frac{i}{π n}) (- \frac{6 i}{n ^{3}}) = \frac{6}{π n ^{4}}$ 。偶数 $n \neq = 0$ は $c_{n} = 0$ 。よって右辺 $= \frac{12}{π} \sum_{k \geq 1} \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}}$ 。

$\frac{12}{π} S = \frac{π ^{3}}{8}$ より $S = \frac{π ^{4}}{96}$ 。

検算: $π^{4} /96 \approx 1.01468$ 、 $1 + 1/81 + 1/625 + 1/2401 + \dots \approx 1 + 0.01235 + 0.0016 + 0.00042 + 0.00015 + \dots \approx 1.0147$ 。一致する。

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