パーセバルの等式と級数の和

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$
である。すなわち、フーリエ係数 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ は、$a_n=0(n\ge 0)$ であり、$n$ が奇数のとき $b_n=\frac{4}{n\pi }$、$n$ が正の偶数のとき $b_n=0$ である。

パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数は
$$x\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、余弦の係数はすべて $a_n=0(n=0,1,2,\dots )$ である。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi <x<\pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi <x<0)\\ 0& (x=0)\\ 1& (0<x<\pi )\end{array}$$
のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。計算すると、すべての $n$ で $a_n=0$ であり、$f(x)$ のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}$$
となる。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f$ を $f(x)=x(\pi -|x|)$ で定める。$f$ のフーリエ級数とパーセバルの等式を用いて、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
は用いてよい。

関数 $f(x)=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
が成り立つことを証明せよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^2(2n)}{n^4}$$
の値を求めよ。ただし $\sin$ の引数は弧度法で表したものとする。

（方針の指定）$[-\pi ,\pi ]$ 上で区間 $[-1,1]$ の指示関数と区間 $[-2,2]$ の指示関数をそれぞれ考え、$2\pi$ 周期的に拡張する。それらの周期的畳み込みのフーリエ係数を求め、パーセバルの等式を用いて求めること。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

整数 $n$ と実数 $x$ に対し，第 1 種ベッセル関数 $J_n(x)$ を母関数展開
$$\exp \left(\frac{x}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(x)t^n(t\ne 0)$$
で定める（$J_n(x)$ は実数値であり，この級数は $t\ne 0$ で絶対収束する）。実数 $x$ に対し
$$S(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{n}^4{J}_n(x{)}^2$$
とおく。この級数は収束する。$S(x)$ を $x$ の式で表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
を考える。$g$, $h$ のフーリエ変換、畳み込みのフーリエ変換の性質、パーセバルの等式などを利用して、定積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =0$ で連続に拡張したもの（値 $1$）とする。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx$$
で定める。2 つの関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-|x|}$$
を考え、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。畳み込みのフーリエ変換の公式 $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$ と、パーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
（$u,v$ は適当な可積分・2 乗可積分関数）を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-2|x|}$$
とし、$h(x)=(f\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)f(y)dy$ とおく。

$h(x)$ を具体的に求め、$\hat{h}$, $\hat{g}$ を計算したうえで、パーセバルの等式（2 つの関数の内積の形）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2({\omega }^2+4)}d\omega$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ に対し、第 $1$ 種ベッセル関数 $J_1(x)$ をべき級数
$$J_1(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(k+1)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+1}$$
で定める。$J_1(x)$ の正の零点はすべて単純で、可算無限個ある。それらを小さい順に $0<{\beta }_1<{\beta }_2<{\beta }_3<\cdots$ とする。このとき無限級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{{\beta }_k^6}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

実ヒルベルト空間
$${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$
を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{n}=0,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}_n}{n}=0\right\}$$
で定め、$y=(y_n{)}_{n\ge 1}$ を $y_n=\frac{1}{2^n}$ とする。このとき
$$d^2=\underset{x\in M}{\inf }\Vert y-x{\Vert }^2$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-|x|}$, $g(x)=e^{-2|x|}$ の畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。また、可積分な関数 $\phi (x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。畳み込み定理とパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\phi (x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }|\hat{\phi }(\omega ){|}^{2}d\omega$$
を用いてよい。このとき、積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $\phi (x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。実数値で可積分かつ 2 乗可積分な関数 $\phi ,\psi$ に対して成り立つパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)\overline{\psi (x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{\phi }(\omega )\overline{\hat{\psi }(\omega )}d\omega$$
を用いてよい。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}2-|x|& (|x|\le 2)\\ 0& (|x|>2)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
のフーリエ変換を利用して、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+x^2)}dx$$
の値を求めよ。