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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

区間 $- π ≦ x ≦ π$ で定義された関数 $f (x) = ∣ sin x ∣$ のフーリエ係数を
$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots), b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x (n = 1, 2, \dots)$
で定める。パーセバルの等式
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} {f (x)}^{2} d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$
を用いて、無限級数
$S = m = 1 \sum \infty \frac{1}{( 4 m ^{2} - 1 ) ^{2}}$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

この問題で使うもの

フーリエ級数（説明と入口の問題）
パーセバルの等式と級数の和（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$∣ sin x ∣$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ 。 $a_{n}$ を積和の公式で計算し、パーセバルの等式に代入する。

ヒント 2

$sin x cos n x = \frac{1}{2} {sin (1 + n) x + sin (1 - n) x}$ と $\int_{0}^{π} sin k x d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{k}}{k}$ を使う。

ヒント 3

奇数番目の係数は $0$ で、 $a_{0} = \frac{4}{π}$ 、 $a_{2 m} = - \frac{4}{π ( 4 m ^{2} - 1 )}$ 。等式の左辺は $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = 1$ となる。

答えと解説

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\frac{π ^{2} - 8}{16}

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解説を読む

フーリエ係数
$f (x) = ∣ sin x ∣$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ であり
$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos n x d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} {sin (1 + n) x + sin (1 - n) x} d x .$
整数 $k \neq = 0$ に対して $\int_{0}^{π} sin k x d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{k}}{k}$ である。
- $n = 1$ のとき $a_{1} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin 2 x d x = 0$ 。
- $n ≧ 3$ が奇数のとき、 $1 \pm n$ はともに偶数なので $a_{n} = 0$ 。
- $n$ が偶数（ $n = 0$ を含む）のとき、 $1 \pm n$ は奇数なので
$a_{n} = \frac{1}{π} (\frac{2}{1 + n} + \frac{2}{1 - n}) = \frac{4}{π ( 1 - n ^{2} )} .$
特に $a_{0} = \frac{4}{π}$ 、 $n = 2 m$ （ $m ≧ 1$ ）では $a_{2 m} = - \frac{4}{π ( 4 m ^{2} - 1 )}$ 。

パーセバルの等式
左辺は
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = \frac{1}{π} \cdot π = 1.$
右辺は
$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{π ^{2}} + m = 1 \sum \infty \frac{16}{π ^{2} ( 4 m ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{8}{π ^{2}} + \frac{16}{π ^{2}} S .$
よって
$1 = \frac{8}{π ^{2}} + \frac{16}{π ^{2}} S ⟹ S = \frac{π ^{2} - 8}{16} .$
（数値では $S \approx 0.1168$ で、 $\frac{1}{9} + \frac{1}{225} + \frac{1}{1225} + \dots$ と一致する。）

別解

$f (x) = ∣ sin x ∣$ は偶関数なので $b_{n} = 0$ 。 $a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos n x d x$ 。

$n = 0$ : $a_{0} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x d x = \frac{4}{π}$ 。

$n \geq 1$ : $sin x cos n x = \frac{1}{2} [sin (n + 1) x - sin (n - 1) x]$ より $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} [sin (n + 1) x - sin (n - 1) x] d x$ 。 $k \neq = 0$ で $\int_{0}^{π} sin k x d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{k}}{k}$ 。
- $n = 1$ : $a_{1} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin x cos x d x = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin 2 x d x = 0$ 。
- $n \geq 3$ 奇数: $n \pm 1$ は偶数なので $a_{n} = 0$ 。
- $n = 2 m$ （偶数）: $a_{2 m} = \frac{1}{π} [\frac{2}{2 m + 1} - \frac{2}{2 m - 1}] = \frac{- 4}{π ( 4 m ^{2} - 1 )}$ 。

パーセバルの等式: 左辺 $= \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} sin^{2} x d x = \frac{1}{π} \cdot π = 1$ 。右辺 $= \frac{a _{0}^{2}}{2} + \sum_{m \geq 1} a_{2 m}^{2} = \frac{8}{π ^{2}} + \frac{16}{π ^{2}} S$ 。

よって $1 = \frac{8 + 16 S}{π ^{2}}$ 、 $S = \frac{π ^{2} - 8}{16}$ 。

検算: $S \approx \frac{9.8696 - 8}{16} \approx 0.11685$ 。級数の和 $\frac{1}{9} + \frac{1}{225} + \frac{1}{1225} + \frac{1}{3969} + \dots \approx 0.1166 +$ （残り約 $0.0002$ ）と一致。

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