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弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める

半径と弧の長さから中心角を求め、おうぎ形の面積を $S=\frac{1}{2}\ell r$ や中心角を使って $\pi$ を含む形で求められる

前提

• おうぎ形の弧の長さと面積 （算数 平面図形）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 半径 $r$ と弧の長さ $\ell$ を確認し、円周 $2\pi r$ を計算する

2. 弧の長さが円周の何倍かを求める: $\frac{\ell }{2\pi r}$

3. 中心角を求める: $a=360\times \frac{\ell }{2\pi r}$

4. 面積を求める: $S=\frac{1}{2}\ell r$（または $S=\pi r^2\times \frac{a}{360}$）で、$\pi$ を残した形で答える

例題

よくある誤り

• $S=\frac{1}{2}\ell r$ の $\frac{1}{2}$ を忘れて $S=4\pi \times 6=24\pi$ としてしまう誤り。正しくは $S=\frac{1}{2}\times 4\pi \times 6=12\pi$。

• 弧の長さを円周ではなく直径や半径で割って、$\frac{4\pi }{6}$ のような割合を出してしまう誤り。正しくは、割合は弧の長さ ÷ 円周で $\frac{4\pi }{2\pi \times 6}=\frac{1}{3}$。

• 円周を $\pi r$ や $\pi r^2$ と取り違えて中心角を求めてしまう誤り（例: $\frac{4\pi }{36\pi }\times 360=40$）。正しくは円周は $2\pi r=12\pi$ で、中心角は $360\times \frac{4\pi }{12\pi }=120^{\circ }$。

• $\pi$ に $3.14$ を代入して $37.68$ のように答えてしまう誤り。正しくは、円周率は $\pi$ のまま残して $12\pi$ と答える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $6\text{cm}$ のおうぎ形 $\mathrm{OAB}$ があります。弧 $\mathrm{AB}$ の長さは $4\pi \text{cm}$ です。このおうぎ形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。ただし、円周率は $\pi$ とします。

  $\mathrm{O}$$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$4\pi \text{cm}$$6\text{cm}$

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  半径が $6\text{cm}$ で、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ のおうぎ形がある。

  このおうぎ形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

  $4\pi \text{cm}$6 cm

• 難易度 2（教科書の章末問題レベル）

  半径が $9\text{cm}$ で、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ であるおうぎ形がある。このおうぎ形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

  $4\pi \text{cm}$$9\text{cm}$

• 難易度 3（公立高校入試の標準レベル）

  半径が $6\text{cm}$、弧の長さが $4\pi \text{cm}$ のおうぎ形 $\mathrm{OAB}$ がある（$\mathrm{O}$ は中心、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ は弧の両端）。弦 $\mathrm{AB}$ と弧 $\mathrm{AB}$ で囲まれた部分の面積は何 ${\text{cm}}^2$ か求めよ。

  $\mathrm{O}$$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$4\pi \text{cm}$$6\text{cm}$

この技能の次に学べること

• 弧度法と単位円による三角関数 （数学II 三角関数）
• 等速円運動の速度と加速度 （高校物理 円運動・単振動・万有引力（知識））
• 弧と線分で囲まれた図形の面積 （中学数学 平面図形）
• 円錐の展開図と側面積 （中学数学 空間図形）