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平面図形の問題

難易度 1教科書の例題レベル中学数学平面図形

点 $O$ を中心とする半径 $6 cm$ のおうぎ形 $OAB$ があります。弧 $AB$ の長さは $4 π cm$ です。このおうぎ形の面積は何 $cm^{2}$ ですか。ただし、円周率は $π$ とします。

O

A

B

4 π cm

6 cm

この問題で使うもの

弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（6 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

弧の長さと半径がわかっているおうぎ形の面積は、 $S = \frac{1}{2} ℓ r$ で求められます（中心角を先に求めてもかまいません）。

ヒント 2

$ℓ = 4 π$ 、 $r = 6$ を $S = \frac{1}{2} ℓ r$ に代入します。

ヒント 3

$S = \frac{1}{2} \times 4 π \times 6$ を計算します。

答えと解説

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12 π

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解説を読む

おうぎ形の面積は、弧の長さ $ℓ$ と半径 $r$ を使って
$S = \frac{1}{2} ℓ r$
で求められます。

このおうぎ形では $ℓ = 4 π$ 、 $r = 6$ なので
$S = \frac{1}{2} \times 4 π \times 6 = 12 π$

（中心角を使って確かめる: 半径 $6 cm$ の円の周の長さは $2 π \times 6 = 12 π (cm)$ です。弧の長さ $4 π cm$ は円周の $\frac{4 π}{12 π} = \frac{1}{3}$ なので、中心角は $36 0^{\circ} \times \frac{1}{3} = 12 0^{\circ}$ です。面積は $π \times 6^{2} \times \frac{120}{360} = 36 π \times \frac{1}{3} = 12 π$ となり、同じ答えになります。）

答え: $12 π cm^{2}$

別解

半径 6 cm の円の円周は $2 π \times 6 = 12 π$ cm 。弧の長さが $4 π$ cm なので、おうぎ形は円の $\frac{4 π}{12 π} = \frac{1}{3}$ （中心角 $12 0^{\circ}$ ）。円の面積は $π \times 6^{2} = 36 π$ cm² なので、おうぎ形の面積は $36 π \times \frac{1}{3} = 12 π$ cm²。
確かめ：おうぎ形の面積 = $\frac{1}{2} \times$ 弧の長さ $\times$ 半径 $= \frac{1}{2} \times 4 π \times 6 = 12 π$ 。

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