等速円運動の速度と加速度

等速円運動では速さが一定でも加速度が 0 でないこと、速度が円の接線方向で加速度が円の中心向き（速度と垂直）であること、角速度 $ω$ と $v = r ω$ , $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ の関係を正しく述べた文を選べる

前提

速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）

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算数中学高校大学大学院

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速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
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弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
力のつり合いと作用・反作用（中学理科物理分野の用語と知識）
慣性の法則と物体の運動（中学理科物理分野の用語と知識）

説明

物体が円周上を一定の速さで回る運動を等速円運動といいます。この技能を身につけると、等速円運動の速度と加速度の向きと大きさを正しく言えるようになり、「速さが一定でも加速度は 0 でない」「加速度は円の中心を向く」といった文の正誤を判断できます。人工衛星、回転する円板の上の物体、カーブを曲がる車など、回る運動を考えるときの土台になります。

なぜそうしてよいのか

まず言葉をそろえます。速度は「速さ」と「向き」を合わせた量で、矢印で表します。加速度は「1 秒あたりの速度の変化」です。速さが同じでも向きが変われば速度は変わったことになります。等速円運動では向きが変わり続けるので、加速度は 0 になりません。各瞬間の速度の向きは、その点での円の接線方向です（ひもで回している物体は、ひもを切ると接線方向に飛んでいきます）。

角度を「弧の長さ ÷ 半径」で表したものを弧度法といい、単位は rad（ラジアン）です。1 周は $2 π$ rad です。1 秒あたりに回る角度を角速度 $ω$ （単位 rad/s）とします。半径 $r$ の円で 1 秒間に進む弧の長さは $r ω$ なので、速さは $v = r ω$ です。1 周にかかる時間（周期）を $T$ とすると、 $ω = \frac{2 π}{T}$ 、 $v = \frac{2 π r}{T}$ です。

加速度も同じ考え方で求めます。中心から物体へ引いた矢印を「位置の矢印」と呼ぶことにします。速度の矢印は、位置の矢印を回転の向きに 90° 回した向きです。物体が回ると位置の矢印が角 $ω$ で回り、それに合わせて速度の矢印も同じ向きに同じ角速度 $ω$ で回ります。そこで、各時刻の速度の矢印（長さ $v$ ）の根元を 1 点に集めて並べます。すると矢印の先は、半径 $v$ の円を、物体と同じ回転の向きに角速度 $ω$ で回ります。この矢印の先が 1 秒あたりに動く量が「1 秒あたりの速度の変化」、つまり加速度です。半径 $v$ の円を角速度 $ω$ で回る点の速さは、 $v = r ω$ と同じ考え方で $v ω$ になります。よって加速度の大きさは $a = v ω$ で、 $v = r ω$ を使うと $a = v ω = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ となります。

向きは次の 2 段階で決まります。(1) 矢印の先は、自分の円の接線方向に、しかも回転の向きに動きます。つまり加速度は、速度の矢印を回転の向きにさらに 90° 回した向きです。(2) 速度はもともと位置の矢印を回転の向きに 90° 回した向きでした。したがって加速度は、位置の矢印を同じ向きに合計 180° 回した向き、つまり位置の矢印と逆向きです。これは物体から中心へ向かう向きです。「速度と垂直」というだけなら外向きの可能性も残りますが、回転の向きまで考えると外向きではなく中心向きに決まります。具体例で確かめます。物体が円の右端にあり反時計回りに回っているとき、位置の矢印は右向き、速度は上向きです。根元を集めた速度の矢印の先は、上を指した位置から反時計回りに動くので、左向きに動きます。左向きは、右端にいる物体から見て中心の向きです。このように、等速円運動の加速度は常に速度と垂直で、円の中心を向きます（向心加速度）。

手順

速度の向きを確かめる：等速円運動の速度は、その点での円の接線方向を向く（中心向きではない）。
速さを角速度で表す： $v = r ω$ 。周期 $T$ を使うなら $ω = \frac{2 π}{T}$ 、 $v = \frac{2 π r}{T}$ 。 $ω$ の単位は rad/s。
加速度の向きを確かめる：速さが一定でも向きが変わるので、加速度は 0 でない。速度の矢印を回転の向きに 90° 回した向きが加速度の向きで、これは常に円の中心向きであり、速度と垂直である。
加速度の大きさを求める： $a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}$ （ $= v ω$ ）。
量を変えたときの変化を判断する：何を一定にしているか（ $r$ , $v$ , $ω$ のどれか）を確かめてから、適切な式で比例関係を読む。

例題

半径 $r$ の円周上を、一定の角速度 $ω$ で等速円運動している物体がある。この運動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　速さが一定なので、加速度は 0 である。
イ　速度の向きは、常に円の中心を向いている。
ウ　加速度の向きは円の中心を向き、速度の向きと垂直である。
エ　半径を変えずに角速度を 2 倍にすると、加速度の大きさは 2 倍になる。

例題の解答

手順 1：速度の向きは円の接線方向なので、イは誤り。
手順 3：速さは一定でも速度の向きが変わり続けるので、加速度は 0 ではない。よってアは誤り。加速度の向きは速度を回転の向きに 90° 回した向きで、これは円の中心向きであり、接線方向の速度と垂直である。よってウは正しい。
手順 4・5：加速度の大きさは $a = r ω^{2}$ である。 $r$ を一定にして $ω$ を 2 倍にすると、 $a$ は $2^{2} = 4$ 倍になる。よってエは誤り。
したがって正しいものはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

「速さが一定だから加速度は 0」としてしまう誤り。正しくは、速度の向きが変わり続けるので加速度は 0 でなく、大きさは $a = \frac{v ^{2}}{r}$ である。
加速度が円の外向き、または速度と同じ接線方向を向くとしてしまう誤り。正しくは、加速度は速度を回転の向きに 90° 回した向きで、常に円の中心向きであり、速度と垂直である（例：右端で反時計回りなら、速度は上向き、加速度は左向き）。
$a = r ω^{2}$ を見て「半径を 2 倍にすれば加速度は必ず 2 倍」としてしまう誤り。正しくは、 $ω$ が一定なら $a$ は 2 倍だが、速さ $v$ が一定なら $a = \frac{v ^{2}}{r}$ より $\frac{1}{2}$ 倍になる。何を一定にしているかで結論が変わる。
角速度を度/秒のまま $v = r ω$ に入れてしまう誤り。正しくは、 $ω$ は rad/s で表し（1 周 $= 2 π$ rad）、周期が $T$ なら $ω = \frac{2 π}{T}$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
糸の一端に小球をつけ、なめらかな水平面上で、糸の他端を固定した点 O のまわりに、小球を半径 $r$ の円周に沿って一定の速さ $v$ で回転させた（等速円運動）。運動は水平面に対して静止している観測者から見たものとする。
このとき、小球の速さは一定であるが、速度の向きは時間とともに変わり続けるので、小球には加速度が生じている。等速円運動をする物体のこの加速度を何というか。漢字で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

向心力（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）