円運動・単振動・万有引力（知識）の問題

道路のカーブで、路面が水平面に対して角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）だけ、カーブの内側が低くなるように傾けてある。この路面上を、質量 $m$ の自動車が、水平面内にある半径 $r$ の円周に沿って一定の速さで走っている。路面と自動車の間の摩擦と空気抵抗は無視でき、自動車は大きさの無視できる物体とみなす。自動車にはたらく力は重力と路面からの垂直抗力だけであり、自動車は路面に沿って上下にずれることなく走っている。重力加速度の大きさを $g$ とし、運動は地面に対して静止している観測者から見たものとする。

この自動車の運動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

• ア　自動車の加速度の向きは、路面に沿ってカーブの内側に向かって下る向きである。
• イ　自動車には、重力と垂直抗力のほかに、円の中心向きの向心力がはたらいており、これら 3 つの力がつりあっている。
• ウ　重力と垂直抗力の合力は水平で円の中心を向いており、この合力が向心力の役割をしている。
• エ　垂直抗力の大きさは、自動車が傾いた路面上に静止しているときと同じく $mg\cos \theta$ である。
• オ　自動車の速度の向きは円の中心を向いており、加速度の向きは円の接線方向である。

次の運動 A〜C は、いずれも等速円運動とみなせる。運動はすべて地面に対して静止している観測者から見たものとし、空気抵抗は無視する。

• 運動 A：水平な路面にある円形のカーブを、自動車がすべらずに一定の速さで走る。
• 運動 B：人工衛星が、地球の中心を中心とする円軌道上を一定の速さで回る。人工衛星にはたらく力は地球からの万有引力だけとする。
• 運動 C：なめらかな水平面上の点 O に、軽くて伸びない糸の一端を固定し、他端に小球をつけて、小球を点 O を中心とする円周上で一定の速さで回す。

これらの運動について述べた文として正しいものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

• ア　運動 A で向心力の役割をしているのは、自動車が路面から受ける垂直抗力である。
• イ　運動 B で向心力の役割をしているのは、人工衛星にはたらく万有引力と遠心力との合力である。
• ウ　運動 C で、小球の加速度の向きは、円の接線の方向である。
• エ　運動 C で、小球にはたらく重力と水平面からの垂直抗力はつり合っていて、向心力の役割をしているのは糸の張力である。
• オ　運動 C の途中で糸が切れると、小球はその位置から円の中心と反対向き（半径の外向き）に飛び出していく。

軽くて伸びない糸の一端を天井の点 O に固定し、他端に小球をつける。小球を、点 O の真下の点を中心とする水平面内の円周上で、一定の速さで回転させた（円すい振り子）。このとき糸は鉛直方向と一定の角をなしている。小球にはたらく力は重力と糸の張力だけとし、空気抵抗は無視する。この小球の運動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

• ア　小球の速さは一定なので、小球の加速度は $0$ である。
• イ　向心力の役割をしているのは、糸の張力の鉛直成分である。
• ウ　小球には、重力と糸の張力のほかに、円の中心向きに向心力という別の力がはたらいている。
• エ　小球の速度は円の接線方向を向き、加速度は円の中心を向くので、速度と加速度はつねに垂直である。
• オ　小球の加速度は、糸に沿って小球から点 O に向かう向きである。

水平な円板が、その中心を通る鉛直な軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回転している。円板の上で、回転軸から距離 $r$ の位置に質量 $m$ の小物体を置いたところ、小物体は円板に対してすべらずに円板とともに回転した。小物体にはたらく実際の力は、重力、円板からの垂直抗力、円板からの静止摩擦力だけであり、空気抵抗は無視する。この小物体について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。

• ア　床に静止した観測者から見ると、小物体には静止摩擦力と大きさ $mr{\omega }^2$ の遠心力がはたらき、水平方向の力はつりあっている。
• イ　円板とともに回転する観測者から見ると、遠心力は静止摩擦力の反作用であり、小物体が円板に及ぼす力である。
• ウ　円板とともに回転する観測者から見ると、小物体には回転軸から遠ざかる向きに大きさ $mr{\omega }^2$ の遠心力がはたらき、静止摩擦力とつりあっている。
• エ　円板とともに回転する観測者から見ると、角速度 $\omega$ が一定のとき、遠心力の大きさは回転軸からの距離 $r$ に反比例する。
• オ　円板とともに回転する観測者から見ると、遠心力の向きは小物体の速度の向き（円の接線方向）である。

等速円運動について述べた次の文ア〜カのうち、正しいものをすべて選べ。ただし、運動はすべて地面に対して静止している観測者から見たものとし、空気抵抗は無視する。

• ア　等速円運動では物体の速さが一定なので、物体の加速度は 0 である。
• イ　軽い糸の上端を天井に固定し、下端につけたおもりを水平面内で等速円運動させる（円錐振り子）とき、おもりにはたらく糸の張力と重力の合力が向心力の役割をしている。
• ウ　等速円運動する物体の速度の向きは円の接線の方向であり、加速度の向きは円の中心の向きである。
• エ　なめらかな水平面上で、一端を固定した糸の他端に物体をつけて等速円運動させているとき、途中で糸が切れると、物体は切れた瞬間の位置から円の中心と反対の向き（半径の外向き）に飛び出していく。
• オ　地球のまわりを等速円運動している人工衛星では、地球から受ける万有引力が向心力の役割をしている。
• カ　水平な道路のカーブを一定の速さで曲がる自動車では、自動車にはたらく重力と路面からの垂直抗力の合力が向心力の役割をしている。