円運動・単振動・万有引力（知識）の問題
道路のカーブで、路面が水平面に対して角 （）だけ、カーブの内側が低くなるように傾けてある。この路面上を、質量 の自動車が、水平面内にある半径 の円周に沿って一定の速さで走っている。路面と自動車の間の摩擦と空気抵抗は無視でき、自動車は大きさの無視できる物体とみなす。自動車にはたらく力は重力と路面からの垂直抗力だけであり、自動車は路面に沿って上下にずれることなく走っている。重力加速度の大きさを とし、運動は地面に対して静止している観測者から見たものとする。
この自動車の運動について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア 自動車の加速度の向きは、路面に沿ってカーブの内側に向かって下る向きである。
- イ 自動車には、重力と垂直抗力のほかに、円の中心向きの向心力がはたらいており、これら 3 つの力がつりあっている。
- ウ 重力と垂直抗力の合力は水平で円の中心を向いており、この合力が向心力の役割をしている。
- エ 垂直抗力の大きさは、自動車が傾いた路面上に静止しているときと同じく である。
- オ 自動車の速度の向きは円の中心を向いており、加速度の向きは円の接線方向である。
この問題で使うもの
- 向心力（説明と入口の問題）
- 等速円運動の速度と加速度（説明と入口の問題）
- 重力・垂直抗力・張力の性質（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（17 技能）
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ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
等速円運動の速度・加速度の向きと、向心力が何を指すかを思い出そう。円の中心がどこにあるかにも注意する。
ヒント 2
等速円運動の加速度は円の中心向きであり、運動方程式から、物体にはたらく力の合力も円の中心を向く。向心力は、はたらく力の合力に対する名前である。
ヒント 3
自動車にはたらく力は重力と垂直抗力だけである。鉛直方向には動かないので鉛直方向の力はつりあう。この式 を使うと エ を判定できる。ア・イ・オ は加速度の向きと向心力の意味から判定できる。
答えと解説
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ウ
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解説を読む
自動車は水平面内で等速円運動をしているので、その加速度は水平で、円の中心を向いている（大きさ ）。運動方程式より、自動車にはたらく力の合力も水平で円の中心を向く。
自動車にはたらく力は、鉛直下向きの重力 と、路面に垂直な向き（鉛直方向から円の中心側へ角 だけ傾いた向き）の垂直抗力 だけである。
- 鉛直方向: 自動車は上下に動かないので、鉛直方向の力はつりあう。
- 水平方向（円の中心向き）:
したがって、重力と垂直抗力の合力は水平で円の中心向き（大きさ ）であり、これが向心力の役割をしている。よって ウ が正しい。
ほかの選択肢の誤り:
- ア 等速円運動の加速度は円の中心を向く。円の中心は自動車と同じ水平面内にあるので、加速度は水平である。路面に沿って下る向きではない。
- イ 向心力は、重力や垂直抗力とは別にはたらく力ではなく、物体にはたらく力の合力のうち円の中心向きのものをよぶ名前である。また、等速円運動では加速度があるので、力はつりあっていない。
- エ 鉛直方向のつりあい より であり、 なので となる。静止しているとき（このときは摩擦がないと静止できないが、斜面に垂直な方向のつりあいから ）とは異なる。
- オ 等速円運動の速度の向きは円の接線方向であり、加速度の向きは円の中心向きである。速度と加速度の向きが逆に書かれている。
別解
自動車は水平面内の等速円運動をしているので、加速度は水平で円の中心を向き、大きさは である。はたらく力は重力 （鉛直下向き）と垂直抗力 （路面に垂直）のみ。鉛直方向のつりあいから 、水平方向の運動方程式から 。
- ア: 加速度は水平で中心向きであり、路面に沿った向きではない。誤り。
- イ: 向心力は独立した力ではなく、実際にはたらく力の合力の役割である。また加速度があるので力はつりあっていない。誤り。
- ウ: 重力と垂直抗力の合力は水平で円の中心を向き、これが向心力の役割をする（大きさ ）。正しい。
- エ: 垂直抗力は であり、 ではない。誤り。
- オ: 速度の向きは円の接線方向で、加速度の向きが中心向きである。逆になっていて誤り。
よって正解はウ。