単振動の変位・速度・加速度

単振動を等速円運動の正射影として理解し、振動の中心で速さが最大・加速度が 0、振動の端で速さが 0・加速度の大きさが最大となること、加速度が $a = - ω^{2} x$ のように変位と逆向きで変位に比例することを選べる

前提

等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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等速円運動の速度と加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

単振動とは、ばねにつけたおもりのように、ある点（振動の中心）をはさんで一直線上を往復する運動のうち、等速円運動を真横から見た影（正射影）と同じ動きをするものです。この技能を身につけると、単振動の各位置での速度と加速度の向きと大きさを判断できます。具体的には、振動の中心で速さが最大・加速度が 0、振動の端で速さが 0・加速度の大きさが最大になることがわかります。また、加速度が $a = - ω^{2} x$ のように変位と逆向きで変位に比例する、という性質を正しく述べた文を選べるようになります。

なぜそうしてよいのか

原点 O を中心とする半径 $A$ の円周上を、点 P が角速度 $ω$ で反時計回りに等速円運動しているとします。P から $x$ 軸に垂線を下ろした足を Q とします。P が 1 周するあいだに、Q は $x = A$ と $x = - A$ のあいだを 1 往復します。この Q の運動が単振動です。 $A$ を振幅といい、 $ω$ を角振動数とよびます。 $ω$ は円運動の角速度と同じものです。時刻 $t = 0$ に P が点 $(A, 0)$ にあるとすると、時刻 $t$ に OP が $x$ 軸の正の向きとなす角は $θ = ω t$ です。Q の変位は P の $x$ 座標なので $x = A cos θ = A cos ω t$ となり、これは $t = 0$ に $x = A$ （端）から動き始める場合の式です。数え始めの位置を変えると $sin$ で書くこともありますが、以下の結論は同じです。

次に、Q の速度と加速度を求めます。これらは P の速度と加速度の $x$ 成分（影）です。 $x$ 軸の正の向きから角 $φ$ の向きを向いた大きさ $V$ の矢印の $x$ 成分は $V cos φ$ です。等速円運動では、P の速度は接線方向で大きさ $A ω$ です。反時計回りに進むので、その向きは OP の向き $θ$ から反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回した $θ + 9 0^{\circ}$ です。P の加速度は中心 O 向きで大きさ $A ω^{2}$ なので、その向きは OP と正反対の $θ + 18 0^{\circ}$ です。向きを $9 0^{\circ}$ 回すと、向きを表す点 $(cos θ, sin θ)$ は $(- sin θ, cos θ)$ に移ります。 $18 0^{\circ}$ 回すと $(- cos θ, - sin θ)$ に移ります。したがって $cos (θ + 9 0^{\circ}) = - sin θ$ 、 $cos (θ + 18 0^{\circ}) = - cos θ$ です。よって $v = A ω cos (θ + 9 0^{\circ}) = - A ω sin ω t$ $a = A ω^{2} cos (θ + 18 0^{\circ}) = - A ω^{2} cos ω t$ となります。 $A cos ω t = x$ なので、 $a = - ω^{2} x$ が得られます。P の加速度はいつも O を向くので、その影もいつも振動の中心を向きます。つまり、加速度は変位と逆向きで、大きさは中心からの距離に比例します。

特別な位置での様子も、図からすぐにわかります。Q が中心（ $x = 0$ ）にあるとき、P は円の真上か真下にいます。このとき P の速度は $x$ 軸と平行なので、影の速さは最大値 $A ω$ になります。P の加速度は $x$ 軸と垂直なので、影の加速度は 0 です。Q が端（ $x = \pm A$ ）にあるときは、P の速度が $x$ 軸と垂直なので、影の速さは 0 です。P の加速度は $x$ 軸と平行なので、影の加速度の大きさは最大値 $A ω^{2}$ になります。

手順

単振動を、半径 $A$ （振幅）・角速度 $ω$ （角振動数）で反時計回りに回る等速円運動の正射影とみなす。 $t = 0$ に P が $(A, 0)$ にあるとし、 $θ = ω t$ とおく。
変位は P の $x$ 座標である： $x = A cos ω t$ （ $t = 0$ に端 $x = A$ から始まる場合）。 $x$ の範囲は $- A \leq x \leq A$ である。
速度は、向き $θ + 9 0^{\circ}$ ・大きさ $A ω$ の円運動の速度の $x$ 成分である： $v = A ω cos (θ + 9 0^{\circ}) = - A ω sin ω t$ 。速さは中心で最大値 $A ω$ 、端で 0 になる。
加速度は、向き $θ + 18 0^{\circ}$ ・大きさ $A ω^{2}$ の円運動の加速度の $x$ 成分である： $a = A ω^{2} cos (θ + 18 0^{\circ}) = - A ω^{2} cos ω t = - ω^{2} x$ 。加速度はいつも振動の中心を向き、中心で 0、端で大きさが最大値 $A ω^{2}$ になる。
選択肢の文を、位置（中心か端か）・速さ・加速度の向き・加速度の大きさの 4 点で、上の結論と照らし合わせる。

例題

$x$ 軸上で、原点 O を中心に振幅 $A$ 、角振動数 $ω$ の単振動をしている物体がある。この運動について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　振動の中心 O では、速さが 0 で、加速度の大きさが最大である。
イ　振動の端 $x = \pm A$ では、速さが最大で、加速度が 0 である。
ウ　加速度は常に変位と逆向きで、その大きさは変位の大きさに比例する。
エ　速さの最大値は $A ω^{2}$ である。

例題の解答

手順 1：この単振動を、半径 $A$ ・角速度 $ω$ で反時計回りに回る等速円運動の正射影とみなす。 $t = 0$ に P が $(A, 0)$ にあるとし、 $θ = ω t$ とする。
手順 2：変位は $x = A cos ω t$ と表せ、 $- A \leq x \leq A$ である。
手順 3：速度は、向き $θ + 9 0^{\circ}$ ・大きさ $A ω$ の矢印の $x$ 成分なので、 $v = A ω cos (θ + 9 0^{\circ}) = - A ω sin ω t$ である。中心 O（ $cos ω t = 0$ ）では $∣ sin ω t ∣ = 1$ となり、速さは最大値 $A ω$ になる。端（ $cos ω t = \pm 1$ ）では $sin ω t = 0$ となり、速さは 0 になる。
手順 4：加速度は、向き $θ + 18 0^{\circ}$ ・大きさ $A ω^{2}$ の矢印の $x$ 成分なので、 $a = A ω^{2} cos (θ + 18 0^{\circ}) = - A ω^{2} cos ω t = - ω^{2} x$ である。加速度は中心で 0、端で大きさが最大値 $A ω^{2}$ になる。
手順 5：各選択肢を照らし合わせる。
・ア：中心では速さが最大で加速度が 0 なので、誤り。
・イ：端では速さが 0 で加速度の大きさが最大なので、誤り。
・ウ： $a = - ω^{2} x$ より、加速度は変位と逆向きで、その大きさ $ω^{2} ∣ x ∣$ は $∣ x ∣$ に比例する。正しい。
・エ：速さの最大値は $A ω$ である。 $A ω^{2}$ は加速度の大きさの最大値なので、誤り。
よって、正しいものはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

振動の中心で加速度が最大だと考えてしまう誤り。正しくは、中心（ $x = 0$ ）では $a = - ω^{2} \cdot 0 = 0$ で、速さが最大値 $A ω$ になる。加速度の大きさが最大になるのは端（ $x = \pm A$ ）で、その値は $A ω^{2}$ である。
加速度を $a = ω^{2} x$ と、変位と同じ向きにしてしまう誤り。正しくは $a = - ω^{2} x$ である。円運動の加速度は向き $θ + 18 0^{\circ}$ （いつも中心向き）なので、その $x$ 成分は $A ω^{2} cos (θ + 18 0^{\circ}) = - A ω^{2} cos θ$ となり、変位 $A cos θ$ と逆符号になる。
速さの最大値と加速度の大きさの最大値を取り違えて、 $v_{m a x} = A ω^{2}$ 、 $a_{m a x} = A ω$ としてしまう誤り。正しくは $v_{m a x} = A ω$ 、 $a_{m a x} = A ω^{2}$ である。これは円運動の $v = r ω$ 、 $a = r ω^{2}$ に $r = A$ を入れたものになっている。
速度の $x$ 成分を、OP の向き $θ$ のまま $A ω cos θ$ として、 $v = A ω cos ω t$ としてしまう誤り。正しくは、速度は接線方向（反時計回りなら向き $θ + 9 0^{\circ}$ ）なので、 $v = A ω cos (θ + 9 0^{\circ}) = - A ω sin ω t$ である。こうしないと、端（ $θ = 0$ ）で速さが最大という、事実と逆の結論になってしまう。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x y$ 平面上で、点 P が原点 O を中心とする半径 $A$ の円周上を、一定の角速度 $ω$ で等速円運動している。点 P から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点を Q とする（Q は P の $x$ 軸への正射影）。このとき Q は、 $x$ 軸上で原点 O を中心とし、振幅 $A$ の単振動をする。Q の変位を $x$ とし、 $x$ 軸の正の向きを正とする。
Q の運動について述べた次の文ア〜オのうち、正しいものをすべて選べ。
- ア　Q の速さは、Q が原点 O を通過するときに最大となり、その大きさは $A ω$ である。
- イ　Q の加速度の大きさは、Q が原点 O を通過するときに最大となる。
- ウ　Q の速さは、Q が $x = A$ や $x = - A$ の位置（振動の端）にきたときに 0 となる。
- エ　Q の加速度の向きは、つねに Q の速度の向きと同じである。
- オ　Q の加速度は $- ω^{2} x$ と表され、つねに変位と逆向きで、大きさは変位の大きさに比例する。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

復元力と単振動の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）