単振動の変位・速度・加速度の式

等速円運動の正射影として単振動を表し、 $x = A sin ω t$ 、 $v = A ω cos ω t$ 、 $a = - ω^{2} x$ を使って、振幅・角振動数・周期から最大の速さ $A ω$ ・最大の加速度の大きさ $A ω^{2}$ やある時刻の変位・速度を求められる

前提

等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

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算数中学高校大学大学院

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等速円運動の速さ・角速度・周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
三角関数のグラフの拡大と平行移動（数学II 三角関数）
単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））

説明

単振動する物体の、ある時刻での変位・速度・加速度を式で求める技能です。振幅 $A$ と角振動数 $ω$ （または周期 $T$ ）がわかれば、最大の速さ $A ω$ や最大の加速度の大きさ $A ω^{2}$ をすぐに計算できます。ばね振り子や単振り子など、往復運動の速さや加速度を数値で求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

半径 $A$ の円周上を、角速度 $ω$ で反時計回りに等速円運動する点 P を考えます。円の中心 O を原点として、横軸と縦軸をとります。時刻 $0$ に P が横軸の正の側の点 $(A, 0)$ にあるとすると、時刻 $t$ に OP が横軸の正の向きとなす角は $θ = ω t$ です。したがって P の座標は $(A cos ω t, A sin ω t)$ です。P に横向き（横軸に平行な向き）の平行光線を当てて、縦軸上に影を落とします。影は P から縦軸に下ろした垂線の足なので、その位置は P の縦座標に等しくなります。影は縦軸上を $- A$ から $A$ の間で往復します。これが単振動で、影の位置（変位）は $x = A sin ω t$ です。P が 1 周する時間が単振動の周期で、 $T = \frac{2 π}{ω}$ です。

影の速度は、P の速度の縦方向の成分に等しくなります。等速円運動の速さは $A ω$ で、向きは OP に垂直な向き（角 $θ + \frac{π}{2}$ の向き）です。よって縦成分は $A ω sin (ω t + \frac{π}{2}) = A ω cos ω t$ となり、 $v = A ω cos ω t$ が得られます。加速度についても同じように考えます。P の加速度は大きさ $A ω^{2}$ で中心 O を向く（OP と逆向き）ので、縦成分は $- A ω^{2} sin ω t$ です。これに $x = A sin ω t$ を使うと、 $a = - ω^{2} x$ と書けます。

$cos ω t$ と $sin ω t$ の値は $- 1$ から $1$ の範囲にあります。そのため、速さの最大値は $A ω$ （振動の中心 $x = 0$ を通るとき）、加速度の大きさの最大値は $A ω^{2}$ （振動の端 $x = \pm A$ のとき）です。つまり、単振動の最大の速さはもとの等速円運動の速さに、最大の加速度の大きさは向心加速度の大きさに、それぞれ等しくなります。

手順

振幅 $A$ と角振動数 $ω$ を読み取る。周期 $T$ が与えられたら $ω = \frac{2 π}{T}$ 、振動数 $f$ が与えられたら $ω = 2 π f$ で $ω$ を求める（単位は rad/s）。
変位の式が $x = A sin ω t$ の形であることを確かめる。これは、時刻 $0$ に中心 $x = 0$ にいて、正の向きに動き出す単振動を表す。
ある時刻 $t$ の値を求めるときは、 $x = A sin ω t$ 、 $v = A ω cos ω t$ 、 $a = - ω^{2} x = - A ω^{2} sin ω t$ に $t$ を代入する。 $ω t$ は弧度法（rad）の角として、三角関数の値を求める。
最大値を求めるときは、最大の速さ $A ω$ （中心を通るとき）と、最大の加速度の大きさ $A ω^{2}$ （端にいるとき）を使う。
単位をそろえて計算し、指定された桁数に丸める。途中の値は丸めずに残しておく。

例題

物体が直線上で単振動をしていて、時刻 $t$ における変位 $x$ は $x = A sin ω t$ と表される。振幅は $0.10 m$ 、周期は $0.50 s$ である。この物体の最大の速さ（m/s）と最大の加速度の大きさ（m/s $^{2}$ ）を、有効数字 2 桁で、この順に求めよ。

例題の解答

手順 1：振幅は $A = 0.10 m$ である。周期 $T = 0.50 s$ から、角振動数は $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0.50} = 4 π rad/s$ （ $\approx 12.57 rad/s$ ）。

手順 2：変位は $x = A sin ω t$ の形なので、 $v = A ω cos ω t$ と $a = - ω^{2} x$ がそのまま使える。

手順 4：最大の速さは $A ω = 0.10 \times 4 π = 0.4 π \approx 1.257 m/s$ 。最大の加速度の大きさは $A ω^{2} = 0.10 \times (4 π)^{2} = 1.6 π^{2} \approx 15.79 m/ s^{2}$ 。

手順 5：有効数字 2 桁に丸めると、最大の速さは $1.3 m/s$ 、最大の加速度の大きさは $16 m/ s^{2}$ となる。

答え: $(1.3, 16)$

よくある誤り

周期 $T$ をそのまま角振動数として使い、 $v_{m a x} = A T$ や $v_{m a x} = \frac{A}{T}$ としてしまう誤り。正しくは、先に $ω = \frac{2 π}{T}$ を求めて $v_{m a x} = A ω = \frac{2 π A}{T}$ とする。振動数 $f$ が与えられたときも、 $f$ を $ω$ と取り違えず、 $ω = 2 π f$ とする。
最大の加速度の大きさを $A ω$ や $A^{2} ω$ としてしまう誤り。正しくは $a = - A ω^{2} sin ω t$ より $a_{m a x} = A ω^{2}$ （ $ω$ は 2 乗、 $A$ は 1 乗）。
速度の式を $v = A ω sin ω t$ や $v = - A ω cos ω t$ としてしまう誤り。正しくは $x = A sin ω t$ のとき $v = A ω cos ω t$ で、 $t = 0$ （中心）で $v = A ω$ と最大になる。また、加速度を $a = + ω^{2} x$ としてしまう誤りもある。正しくは $a = - ω^{2} x$ で、加速度は変位と逆向きになる。
$ω t$ を度数法の角とみなして三角関数の値を求めてしまう誤り。正しくは弧度法の角として扱う。例えば $ω = 4 π rad/s$ 、 $t = \frac{1}{12} s$ なら $ω t = \frac{π}{3} rad$ であり、 $sin ω t = \frac{3}{2}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

ばね振り子の周期と振動の中心（高校物理円運動・単振動・万有引力）
単振り子の周期（高校物理円運動・単振動・万有引力）
有効ポテンシャルと円軌道の安定性（大学物理力学（質点・剛体））
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