三角関数のグラフの拡大と平行移動

関数 $$y=4\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$$ のグラフは、関数 $y=4\sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。$0<p<\pi$ を満たす実数 $p$ を求めよ。

$y=\sin x$ のグラフに対して、次の操作 $(1)$〜$(3)$ をこの順に行う。

$(1)$ $y$ 軸をもとにして、$x$ 軸方向に $3$ 倍に拡大する。

$(2)$ $x$ 軸をもとにして、$y$ 軸方向に $2$ 倍に拡大する。

$(3)$ $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動する。

得られたグラフを表す方程式を $y=f(x)$ とするとき、$f(x)$ を $x$ の式で表せ。ただし、答えは $a\sin (bx+c)+d$（$a,b,c,d$ は定数）の形で答えよ。

関数 $$y=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)$$ のグラフは、関数 $y=2\sin \frac{x}{3}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものである。$0\leqq p<6\pi$ のとき、$p$ の値を求めよ。

$a,b,c,d$ は定数で、$a>0$, $b>0$, $-\pi <c\leqq \pi$ とする。関数
$$f(x)=a\sin (bx+c)+d$$
について、次のことがわかっている。

• $f(x)$ の最大値は $5$、最小値は $-1$ である。
• $f(x)$ の正の周期のうち最小のものは $\frac{2}{3}\pi$ である。
• $f(0)=5$ である。

このとき、$f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

関数
$$y=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$$
のグラフが直線 $x=a$ に関して対称となるような正の実数 $a$ のうち、最小のものを求めよ。

関数
$$f(x)=3\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{6}\right)$$
の正の周期のうち最小のものを $T$ とする。$0\leqq x\leqq T$ の範囲で、$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標をすべて求めよ。

$a$ を正の実数の定数とする。関数 $$f(x)=2\sin x\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sqrt{3}$$ について、$0\leqq x\leqq a$ における $f(x)$ の最大値が $2$、最小値が $-\sqrt{3}$ となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$\omega$ を正の実数とし、関数 $$f(x)=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)-1$$ を考える。$0\leqq x\leqq \pi$ の範囲で、次の 2 つの条件がともに成り立つとする。

$(1)$ 方程式 $f(x)=0$ の解はちょうど $4$ 個である。

$(2)$ $f(x)$ が値 $-3$ をとる $x$ はちょうど $1$ 個である。

このような $\omega$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}$ における関数
$$f(x)=a\sin x+\cos x$$
の最大値が最小値の $2$ 倍となるような $a$ の値をすべて求めよ。