三角関数の問題

方針：$x$ 軸方向の平行移動の量を読み取るには、$\sin$ の中身を $b(x-p)$ の形に変形します。

手順1：$\sin$ の中身を $x$ の係数でくくる
$$2x-\frac{\pi }{3}=2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$$
よって
$$y=4\sin 2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)-1$$
と書けます。

手順2：平行移動の量を読み取る
一般に、$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの式は $y-q=f(x-p)$ です。$f(x)=4\sin 2x$ とすると、上の式は
$$y-(-1)=4\sin 2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$$
なので、$y=4\sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{6}$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものです。

（注意：$\sin$ の中身の $-\frac{\pi }{3}$ をそのまま読んで「$\frac{\pi }{3}$ だけ移動」とするのは誤りです。必ず $x$ の係数 $2$ でくくってから読み取ります。）

手順3：条件 $0<p<\pi$ を確認する
$y=4\sin 2x$ の周期は $\frac{2\pi }{2}=\pi$ なので、$x$ 軸方向の移動量としては $\frac{\pi }{6}+n\pi$（$n$ は整数）でも同じグラフになります。このうち $0<p<\pi$ を満たすのは $n=0$ のときだけです。

したがって $p=\frac{\pi }{6}$ です。

$y=4\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1=4\sin 2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)-1$ と変形できる。これは $y=4\sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{6}$、$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。\n一般に $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$ 平行移動すると $y=f(x-p)$ となる。よって $4\sin 2(x-p)=4\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ となればよい。\n$2p=\frac{\pi }{3}+2k\pi$（$k$ は整数）より $p=\frac{\pi }{6}+k\pi$ となる。$0<p<\pi$ を満たすのは $k=0$ のときだけで、$p=\frac{\pi }{6}$ である。\n検算: $p=\frac{\pi }{6}$ のとき $4\sin 2\left(x-\frac{\pi }{6}\right)-1=4\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ となり、元の関数と一致する。