三角関数の問題

方針 $y=a\sin (bx+c)$ の形の関数は、$\sin$ の中身を $b$ でくくって $y=a\sin b(x-p)$ の形に直すと、$y=a\sin bx$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものだと読み取れる。

手順1：$\sin$ の中身を $x$ の係数でくくる

$x$ の係数は $\frac{1}{3}$ なので、$\frac{1}{3}$ でくくると
$$\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{6}\times 3\right)=\frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$$
よって
$$y=2\sin \frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$$

手順2：平行移動の量を読み取る

$y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したグラフの式は $y=f(x-p)$ である。$f(x)=2\sin \frac{x}{3}$ とすると、上の式は $y=f\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ だから、$x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$ だけ平行移動したものである。

（注意：$\frac{\pi }{6}$ だけ移動したのではない。$x$ の係数でくくってから読み取ることが大切である。）

手順3：範囲の確認

$y=2\sin \frac{x}{3}$ の周期は $\frac{2\pi }{\frac{1}{3}}=6\pi$ なので、$\frac{\pi }{2}$ に $6\pi$ の整数倍を加えた量だけ移動しても同じグラフになる。そのうち $0\leqq p<6\pi$ を満たすのは $p=\frac{\pi }{2}$ だけである。

答え：$p=\frac{\pi }{2}$

$y=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ と変形できる。よって、このグラフは $y=2\sin \frac{x}{3}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi }{2}$ だけ平行移動したものである。
$y=2\sin \frac{x}{3}$ の周期は $\frac{2\pi }{1/3}=6\pi$ なので、$p$ は $\frac{\pi }{2}+6\pi k$（$k$ は整数）と表せる。$0\leqq p<6\pi$ を満たすのは $k=0$ のときだけなので、$p=\frac{\pi }{2}$。
検算：$p=\frac{\pi }{2}$ のとき、$2\sin \frac{x-\pi /2}{3}=2\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi }{6}\right)$ となり、一致する。