三角関数の問題

手順1：置き換える

三角関数の合成により
$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$$
である。$t=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ とおくと、方程式は
$$t^2-2t=k\cdots (1)$$
となる。

手順2：$t$ の範囲と、$t$ 1 つに対応する $x$ の個数を調べる

$0\leqq x<2\pi$ のとき $\frac{\pi }{6}\leqq x+\frac{\pi }{6}<\frac{13}{6}\pi$ であり、$x+\frac{\pi }{6}$ はちょうど 1 周する。よって $-2\leqq t\leqq 2$ である。さらに、$t$ の値 1 つに対応する $x$ の個数は
- $-2<t<2$ のとき $2$ 個
- $t=2$ または $t=-2$ のとき $1$ 個

である。

手順3：$t$ の方程式をグラフで調べる

$(1)$ の実数解は、$y=t^2-2t(-2\leqq t\leqq 2)$ のグラフと直線 $y=k$ の共有点の $t$ 座標である。
$$t^2-2t=(t-1{)}^2-1$$
より、グラフは頂点 $(1,-1)$ の下に凸な放物線の一部で、端点は $t=-2$ のとき $y=8$、$t=2$ のとき $y=0$ である。

直線 $y=k$ との共有点と、それに対応する $x$ の個数は次のようになる。
- $k=-1$：$t=1$ の 1 個 $\Rightarrow$ $x$ は $2$ 個
- $-1<k<0$：$-2<t<2$ の範囲（$0<t<1$ と $1<t<2$）に 2 個 $\Rightarrow$ $x$ は $2+2=4$ 個
- $k=0$：$t=0,2$ $\Rightarrow$ $x$ は $2+1=3$ 個
- $0<k<8$：$-2<t<0$ に 1 個 $\Rightarrow$ $x$ は $2$ 個
- $k=8$：$t=-2$ $\Rightarrow$ $x$ は $1$ 個
- $k<-1$ または $k>8$：共有点なし $\Rightarrow$ $x$ は $0$ 個

手順4：結論

$x$ の解がちょうど $4$ 個となるのは $-1<k<0$ のときである。

$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ とおく。$0\leqq x<2\pi$ のとき $\theta =x+\frac{\pi }{6}$ は $\frac{\pi }{6}\leqq \theta <\frac{13\pi }{6}$ を動き、これはちょうど 1 周期分である。したがって $t$ の範囲は $-2\leqq t\leqq 2$ で、$x$ の個数は次のようになる。
- $-2<t<2$ のとき、$t$ の値 1 つにつき $x$ は 2 個
- $t=2$ のとき 1 個、$t=-2$ のとき 1 個

方程式は $t^2-2t=k$ となる。$f(t)=t^2-2t=(t-1{)}^2-1$ とおく。
$x$ の解がちょうど 4 個になるのは、$-2<t<2$ に異なる実数解が 2 個あるときだけである。
- $t=\pm 2$ の解は 1 個ずつしか与えない。
- $f(2)=0,f(-2)=8$ で値が異なるので、$t=2$ と $t=-2$ が同時に解になることはない。
- よって $t=\pm 2$ を含む場合、$x$ の個数は $1+2=3$ 個以下になる。

$-2<t<2$ での $y=f(t)$ のグラフを考える。
- $-2<t\leqq 1$ では $f$ は $8$（端は含まない）から $-1$ まで減少する。
- $1\leqq t<2$ では $f$ は $-1$ から $0$（端は含まない）まで増加する。

直線 $y=k$ との共有点が $-2<t<2$ で 2 個になるのは $-1<k<0$ のときである。

確認: $k=0$ のとき $t=0,2$ で、$x$ は $2+1=3$ 個となり不適。$k=-1$ のとき $t=1$ のみで、$x$ は 2 個となり不適。$k=-\frac{1}{2}$ のとき $t=1\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で、2 つとも $(-2,2)$ に入るので $x$ は 4 個となり適する。

よって $-1<k<0$。