三角方程式の解の個数

$t = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ のように置き換え、 $0 ≦ x < 2 π$ で $t$ の値 1 つに対応する $x$ の個数（ $∣ t ∣ < 2$ なら 2 個、 $t = \pm 2$ なら 1 個）を調べられる。 $t$ の方程式 $f (t) = k$ を曲線と直線の共有点として調べ、もとの方程式がちょうど $n$ 個の解をもつような $k$ の値の範囲を求められる

前提

置き換えによる三角関数の最大・最小（数学II 三角関数）
置き換えによる方程式の解の個数（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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置き換えによる三角関数の最大・最小（数学II 三角関数）
置き換えによる方程式の解の個数（数学I 図形と計量）

説明

$sin x + cos x$ や $sin x + 3 cos x$ を含む方程式は、合成を使って $t = r sin (x + α)$ と置き換えると、 $t$ だけの方程式 $f (t) = k$ に直せます。このページでは、 $t$ の値 1 つに $x$ がいくつ対応するかを調べ、もとの方程式の解の個数を数える方法を学びます。これを使うと、「 $0 ≦ x < 2 π$ で解がちょうど $n$ 個となる定数 $k$ の値の範囲」を、グラフを使って求められます。

なぜそうしてよいのか

$t = r sin (x + α)$ （ $r > 0$ ）とおきます。 $x$ が $0 ≦ x < 2 π$ を動くと、 $θ = x + α$ は $α ≦ θ < α + 2 π$ を動きます。この区間の長さはちょうど $2 π$ で、ちょうど 1 周期分です。単位円でいえば、点 $(cos θ, sin θ)$ は円周をちょうど 1 周し、どの点も 1 回ずつ通ります。したがって $t$ のとりうる範囲は $- r ≦ t ≦ r$ です。

次に、 $t$ の値を 1 つ決めて、 $sin θ = \frac{t}{r}$ を満たす $θ$ の個数を考えます。これは、単位円と直線 $Y = \frac{t}{r}$ の共有点の個数と同じです。 $- 1 < \frac{t}{r} < 1$ （つまり $∣ t ∣ < r$ ）なら、直線は円と 2 点で交わるので $θ$ は 2 個あります。 $\frac{t}{r} = \pm 1$ （つまり $t = \pm r$ ）なら、円の最上点または最下点で接するだけなので 1 個です。 $θ$ と $x$ は $x = θ - α$ で 1 対 1 に対応するので、 $x$ の個数も同じになります。区間が $0 ≦ x < 2 π$ のように片側だけ開いていることが大切です。両端を含めると、同じ点を 2 回数えてしまいます。

あとは $t$ の方程式 $f (t) = k$ の実数解を、曲線 $y = f (t)$ （ $- r ≦ t ≦ r$ ）と直線 $y = k$ の共有点として求めます。共有点ごとに、その $t$ 座標が内側（ $∣ t ∣ < r$ ）なら 2 個、端（ $t = \pm r$ ）なら 1 個として足し合わせると、もとの方程式の解の個数になります。 $k$ を動かすと直線が上下に動くので、合計がいくつになるかを $k$ の範囲ごとに読み取れます。

手順

合成を使って置き換える: $t = r sin (x + α)$ とおき、 $x$ の範囲から $t$ の範囲 $- r ≦ t ≦ r$ を求める。
$t$ 1 つに対応する $x$ の個数を確認する: $∣ t ∣ < r$ なら 2 個、 $t = \pm r$ なら 1 個。
方程式を $t$ だけで表し、 $f (t) = k$ の形にする（例: $t = sin x + cos x$ なら $sin 2 x = t^{2} - 1$ を使う）。
$y = f (t)$ のグラフを $- r ≦ t ≦ r$ の範囲だけかき、頂点の値と両端の値を求める。
直線 $y = k$ を上下に動かし、共有点ごとに $x$ の個数（手順 2）を足し合わせて、 $k$ の範囲ごとの解の個数を調べる。
合計がちょうど $n$ 個になる $k$ の範囲を答える。

例題

$0 ≦ x < 2 π$ のとき、 $x$ の方程式 $sin 2 x - 2 (sin x + cos x) = k$ が異なる 4 個の解をもつような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ とおく。 $0 ≦ x < 2 π$ より $\frac{π}{4} ≦ x + \frac{π}{4} < \frac{9 π}{4}$ で、これはちょうど 1 周期分である。よって $- 2 ≦ t ≦ 2$ となる。
【手順 2】 $- 2 < t < 2$ のとき、 $t$ 1 つに $x$ は 2 個対応する。 $t = \pm 2$ のときは 1 個である。
【手順 3】 $t^{2} = sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x = 1 + sin 2 x$ より $sin 2 x = t^{2} - 1$ である。よって方程式は $t^{2} - 2 t - 1 = k$ となる。 $f (t) = t^{2} - 2 t - 1 = (t - 1)^{2} - 2$ とおく。
【手順 4】 $y = f (t)$ （ $- 2 ≦ t ≦ 2$ ）の頂点は $(1, - 2)$ で、 $t = 1$ は範囲の内側にある。端の値は $f (2) = 1 - 22$ 、 $f (- 2) = 1 + 22$ である。また $f (t) = 1 - 22$ を満たすもう一方の $t$ は、軸 $t = 1$ について $2$ と対称な $t = 2 - 2$ で、これは範囲の内側にある。
【手順 5】直線 $y = k$ を動かして共有点を数える。
・ $k = - 2$ : $t = 1$ の 1 点だけなので、 $x$ は 2 個。
・ $- 2 < k < 1 - 22$ : 共有点は 2 点で、どちらも $2 - 2 < t < 2$ にあり端ではない。よって $x$ は $2 + 2 = 4$ 個。
・ $k = 1 - 22$ : $t = 2 - 2$ （2 個）と $t = 2$ （1 個）なので、 $x$ は 3 個。
・ $1 - 22 < k < 1 + 22$ : 共有点は $- 2 < t < 2 - 2$ の 1 点だけなので、 $x$ は 2 個。
・ $k = 1 + 22$ : $t = - 2$ の 1 点だけなので、 $x$ は 1 個。
・ $k < - 2$ または $k > 1 + 22$ : 共有点がないので 0 個。
【手順 6】解がちょうど 4 個になるのは $- 2 < k < 1 - 22$ のときである。

答え: $- 2 < k < 1 - 22$

よくある誤り

$t$ の範囲を考えずに、 $y = t^{2} - 2 t - 1$ のグラフを全体でかいてしまう誤り。正しくは $- 2 ≦ t ≦ 2$ の部分だけをかき、その外の共有点は数えない。
端の値 $t = 2$ にも $x$ が 2 個対応するとしてしまう誤り。正しくは $2 sin (x + \frac{π}{4}) = 2$ の解は $x = \frac{π}{4}$ の 1 個だけなので、 $k = 1 - 22$ のときの解は 4 個ではなく 3 個である。
$t$ の解の個数を、そのまま $x$ の解の個数としてしまう誤り。例えば $- 2 < k < 1 - 22$ で $t$ は 2 個だが、それぞれに $x$ が 2 個ずつ対応するので、正しくは $x$ は 4 個である。
$t^{2} = 1 + sin 2 x$ から $sin 2 x = t^{2} + 1$ と符号を誤る誤り。正しくは $sin 2 x = t^{2} - 1$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態（大学物理量子力学（1 次元の問題））