有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態

偶・奇の解の接続条件 $ξ tan ξ = η$ , $- ξ cot ξ = η$ , $ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ を立て、グラフから束縛状態の数や特定のエネルギーになる条件を求められる

前提

時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
三角方程式の解の個数（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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三角方程式の解の個数（数学II 三角関数）

説明

深さが有限の井戸型ポテンシャル（ $∣ x ∣ < a$ で $V = 0$ 、 $∣ x ∣ > a$ で $V = V_{0} > 0$ ）に粒子がとらえられている状態（束縛状態、 $0 < E < V_{0}$ ）のエネルギーは、無限に深い井戸のように式 1 本では書けず、超越方程式の解として決まります。この技能では、波動関数を偶関数・奇関数に分けて接続条件を立て、無次元の量 $ξ$ , $η$ についての連立方程式 $ξ tan ξ = η$ （偶）, $- ξ cot ξ = η$ （奇）, $ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ に直し、曲線と円の交点の個数から束縛状態の数を数えたり、ある準位が現れる条件を求めたりできるようになります。半導体の量子井戸や、原子核内の核子のモデルなどで使われます。

なぜそうしてよいのか

井戸の中（ $∣ x ∣ < a$ ）では $E > V = 0$ なので振動解、外（ $∣ x ∣ > a$ ）では $E < V_{0}$ なので指数関数解になります。 $k = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ （どちらも正）とおくと、外側では $x \to \pm \infty$ で発散しないように $x > a$ で $e^{- κ x}$ 、 $x < - a$ で $e^{κ x}$ だけを残します。ポテンシャルが $x \to - x$ で変わらないので、 $ψ (x)$ が解なら $ψ (- x)$ も同じ $E$ の解であり、束縛状態は偶関数の解と奇関数の解に分けて探せます。こうすると $x = a$ での接続だけ調べれば $x = - a$ での接続も自動的に満たされます。

偶の解は井戸の中で $A cos k x$ 、 $x > a$ で $B e^{- κ x}$ です。 $x = a$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ の連続条件
$A cos k a = B e^{- κa}, - A k sin k a = - κ B e^{- κa}$
を立て、2 式目を 1 式目で割ると（ $cos k a \neq = 0$ でなければ $B = 0$ となり解がない） $k tan k a = κ$ 。両辺に $a$ を掛けて $ξ = k a$ , $η = κa$ とおけば $ξ tan ξ = η$ です。奇の解（中で $A sin k x$ ）では同様に $A sin k a = B e^{- κa}$ , $A k cos k a = - κ B e^{- κa}$ から $- k cot k a = κ$ 、すなわち $- ξ cot ξ = η$ となります。さらに $k^{2} + κ^{2} = \frac{2 m V _{0}}{ℏ ^{2}}$ はエネルギー $E$ によらないので、 $ξ^{2} + η^{2} = R^{2}$ , $R = \frac{a 2 m V _{0}}{ℏ}$ という円の式が得られます。

未知数が $ξ > 0$ , $η > 0$ の 2 つで式が 2 本なので、 $ξ η$ 平面の第 1 象限で、曲線 $η = ξ tan ξ$ （または $η = - ξ cot ξ$ ）と半径 $R$ の円との交点が束縛状態 1 つ 1 つに対応します。 $η = ξ tan ξ$ の $η > 0$ の部分は $0 < ξ < \frac{π}{2}$ , $π < ξ < \frac{3 π}{2}$ , … の各区間で $0$ から単調に増えて $+ \infty$ に発散する枝、 $η = - ξ cot ξ$ の $η > 0$ の部分は $\frac{π}{2} < ξ < π$ , $\frac{3 π}{2} < ξ < 2 π$ , … の各区間で同様の枝です。円は $ξ$ が増えると $η$ が減る曲線なので、各枝の出発点 $ξ = \frac{j π}{2}$ （ $j = 0, 1, 2, \dots$ 。偶数 $j$ が偶の解、奇数 $j$ が奇の解）が円の内側（ $\frac{j π}{2} < R$ ）にあれば、その枝と円はちょうど 1 回交わります。したがって束縛状態の数は $\frac{j π}{2} < R$ を満たす整数 $j ≧ 0$ の個数です。 $j = 0$ は常に満たすので、井戸がどれほど浅くても偶の束縛状態が少なくとも 1 つあります。 $R = \frac{j π}{2}$ ちょうどでは交点が $η = 0$ （ $E = V_{0}$ 、 $κ = 0$ で規格化できない）となるので、束縛状態には数えません。

手順

$k = \frac{2 m E}{ℏ}$ , $κ = \frac{2 m ( V _{0} - E )}{ℏ}$ とおき、井戸の中を $A cos k x$ （偶）または $A sin k x$ （奇）、 $x > a$ を $B e^{- κ x}$ と書く
$x = a$ で $ψ$ , $ψ^{'}$ の連続条件を立てて割り算し、 $ξ = k a$ , $η = κa$ として偶： $ξ tan ξ = η$ 、奇： $- ξ cot ξ = η$ を得る
$ξ^{2} + η^{2} = R^{2}$ , $R^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ を計算して円の半径 $R$ を求める
第 1 象限で $η = ξ tan ξ$ , $η = - ξ cot ξ$ の枝（出発点 $ξ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, \dots$ ）と円の交点を考え、 $\frac{j π}{2} < R$ を満たす $j = 0, 1, 2, \dots$ の個数を数える
特定の準位が現れる条件やエネルギーを問われたら、その交点の $ξ$ から $E = \frac{ℏ ^{2} ξ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ を求めたり、 $R$ が出発点 $\frac{j π}{2}$ を超える条件を $V_{0}$ などで表したりする

例題

質量 $m$ の粒子が、 $∣ x ∣ < a$ で $V = 0$ 、 $∣ x ∣ > a$ で $V = V_{0}$ のポテンシャルの中にある。 $V_{0} = \frac{25 ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}}$ のとき、エネルギーが $0 < E < V_{0}$ の束縛状態の数を求めよ。

例題の解答

【手順 1・2】偶の解は $ξ tan ξ = η$ 、奇の解は $- ξ cot ξ = η$ （ $ξ = k a > 0$ , $η = κa > 0$ ）。

【手順 3】 $R^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}} = \frac{2 m a ^{2}}{ℏ ^{2}} \cdot \frac{25 ℏ ^{2}}{2 m a ^{2}} = 25$ より、 $R = 5$ 。

【手順 4】枝の出発点 $ξ = \frac{j π}{2}$ と $R = 5$ を比べる（ $π \approx 3.14$ ）。
- $j = 0$ ： $0 < 5$ （偶、 $0 < ξ < \frac{π}{2}$ の枝）→ 交点あり
- $j = 1$ ： $\frac{π}{2} \approx 1.57 < 5$ （奇）→ 交点あり
- $j = 2$ ： $π \approx 3.14 < 5$ （偶）→ 交点あり
- $j = 3$ ： $\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5$ （奇）→ 交点あり
- $j = 4$ ： $2 π \approx 6.28 > 5$ → 交点なし（これ以降も同様）

よって偶の束縛状態 2 個、奇の束縛状態 2 個で、束縛状態の数は $4$ 。

答え: $4$

よくある誤り

井戸の外の解に $e^{κ x}$ （ $x > a$ ）の項を残したり、外でも振動解 $e^{\pm ik x}$ を書いたりしてしまう誤り。正しくは束縛状態では $E < V_{0}$ なので外は指数関数解で、 $x > a$ では $x \to + \infty$ で減衰する $B e^{- κ x}$ だけを残す
偶と奇の条件を取り違え、偶の解に $- ξ cot ξ = η$ を使ってしまう誤り。正しくは $cos k x$ （偶）から $(cos k x)^{'} = - k sin k x$ で $ξ tan ξ = η$ 、 $sin k x$ （奇）から $(sin k x)^{'} = k cos k x$ で $- ξ cot ξ = η$
円の半径を $R^{2}$ のまま、または $R = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ として出発点 $\frac{j π}{2}$ と比べてしまう誤り。正しくは $ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ なので半径は $R = \frac{a 2 m V _{0}}{ℏ}$ （例題では $R^{2} = 25$ で $R = 5$ ）。また $a$ は井戸の幅ではなく幅の半分であることにも注意する
$η < 0$ の交点（例： $π /2 < ξ < π$ での $η = ξ tan ξ < 0$ の部分と円の交点）も束縛状態に数えてしまう誤り。正しくは $κ > 0$ なので $η > 0$ の第 1 象限の交点だけを数え、 $η = 0$ ちょうど（ $E = V_{0}$ ）も含めない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ の粒子が、1 次元の井戸型ポテンシャル
$V (x) = {- V_{0} 0 (∣ x ∣ < a) (∣ x ∣ \geq a) (V_{0} > 0, a > 0)$
の中にある。束縛状態（ $- V_{0} < E < 0$ ）について
$k = \frac{2 m ( E + V _{0} )}{ℏ}, κ = \frac{- 2 m E}{ℏ}, ξ = k a, η = κa (ξ > 0, η > 0)$
とおくと、 $x = \pm a$ での接続条件から、偶関数の解は $ξ tan ξ = η$ 、奇関数の解は $- ξ cot ξ = η$ を満たし、さらに $ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ が成り立つ（ $ℏ$ はディラック定数）。井戸の深さが $V_{0} = \frac{25 π ^{2} ℏ ^{2}}{32 m a ^{2}}$ のとき、この井戸の束縛状態の数を求めよ。

有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題